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山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。
A．B．C．D．
2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．4B．6C．9D．18
4．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）
A．B．30C．40D．50
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．BC2＝BD•BA
C．∠A＝∠BCDD．∠ADC+∠BCA＝180°
6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
二．填空题（共6小题，18分）
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 cm．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝ ．
11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）
12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于 ．
13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于 度．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共10小题，78分）
15．计算：
（1）2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．
23．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
24．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形状是 ；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，连接MB，AN．
①求证：△ACN∽△BCM；
②求AN的长．
山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用平方公式求出csA的值，然后利用tanA＝求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cs2A＝1；
∴csA＝＝＝，
∴tanA＝＝＝．
故选：D．
2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形，得出∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，根据AB是直径得出BD⊥AD，则BD∥OC，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，
∵AB是直径，
∴BD⊥AD，
∵OC⊥AD，则，
∴BD∥OC，
∴∠EDB＝∠DCO＝50°，
∴∠E＝∠DBA﹣∠BDE＝80°﹣50°＝30°，
故选：B．
3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．4B．6C．9D．18
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（ ）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：D．
4．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）
A．B．30C．40D．50
【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠EBC＝30°，AD∥EB，从而可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图，
由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE﹣∠DBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC＝＝＝50（km），
∴A，C两港之间的距离为50km，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．BC2＝BD•BA
C．∠A＝∠BCDD．∠ADC+∠BCA＝180°
【分析】根据相似三角形的判定定理求解判断即可．
【解答】解：由AC2＝AD•AB，∠CBD＝∠ABC，不能判定△BCD∽△BAC，
故A符合题意；
∵BC2＝BD•BA，
∴＝，
又∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故C不符合题意；
∵∠ADC+∠BCA＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝∠BCA，
又∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故D不符合题意；
故选：A．
6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再 根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC＝，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝3，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD+∠DAH＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠BAD+∠EAC＝30°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，
∵BH＝AB＝3，
∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，
∴＝，
∴DH＝，
∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，
故选：A．
7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝OA，即为PA+PB的最小值．
【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，
∵∠ACM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，
∴∠AON＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，
由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′＝OA＝×1＝，
即PA+PB的最小值＝．
故选：C．
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴CH＝BC•sinB＝2，
∴PQ的最小值为：＝3，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 20 cm．
【分析】过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5xcm，即可求解．
【解答】解：如图，过B作BC⊥AC于C，
由i＝BC：AC＝3：4，
设BC＝3xcm，AC＝4xcm，
则AB＝5x＝25，
解得x＝5，
∴AC＝4×5＝20（cm）．
故答案为：20．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝ 5 ．
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴＝，
∵BD＝4DC，
设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴＝，
∴AD＝5，
故答案为：5．
11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 16 米．（结果精确到1米，参考数据）
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，BC＝12米，然后设CD＝x米，则BD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，
设CD＝x米，
∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝（x+12）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD•tan45°＝x（米），
∴x＝（x+12），
解得：x＝6+6，
∴AD＝6+6≈16（米），
∴建筑物AD的高度约为16米，
故答案为：16．
12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于 ．
【分析】证明△CAE≌△ABD（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACE＝∠BAD，证明△EAF∽△DAB，得出，过点D作DH∥CE，交AB于点H，求出EH＝BE＝，设AF＝3x，则AD＝7x，则3x•7x＝12，解方程求出DF的长，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAE＝∠ABD＝60°．
在△CAE与△ABD中，
，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠BAD，
∴∠AFE＝∠ACE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠AFE＝∠ABD，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴△EAF∽△DAB，
∴，
∴，
过点D作DH∥CE，交AB于点H，
∴，
∵AE＝BD＝2，AB＝BC＝6，
∴BE＝4，
∴EH＝BE＝，
∵EF∥DH，
∴＝，
∴，
设AF＝3x，则AD＝7x，
∴3x•7x＝12，
∴x＝（负值舍去），
∴AF＝，
∴DF＝，
∵∠AFE＝∠DFG＝60°，
∴DG＝DF•sin60°＝＝．
故答案为：．
13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于 23 度．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝67°，∠BAC＝46°，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，则利用互余可计算出∠ABE＝44°，然后计算∠ABC﹣∠ABE即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝67°，
∴∠ABC＝∠C＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠C＝46°，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣46°＝44°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝67°﹣44°＝23°．
故答案为：23．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为 2+ ．
【分析】根据S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆求解即可．
【解答】解：连接AE．
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠D＝90°，
∵AE＝AB＝2AD，
∴∠AED＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠EAB＝∠AED＝30°，DE＝AD＝2，
∴S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆
＝×2×2+﹣π×22
＝2+π﹣π
＝2+．
故答案为：2+．
三．解答题（共10小题）
15．计算：
（1）2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）根据菱形的对边平行，∠AED＝∠B即可证明两三角形都得相似．
（2）根据（1）的结论可得出＝，进而代入可得出AB2的值．
【解答】（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△DEA；
（2）解：∵△ABE∽△DEA，
∴＝，
∴AE•DE＝AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，
∴AB2＝AE•DE＝24，
∴AB＝2或﹣2（舍去）．
∴菱形ABCD的边长为2．
17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°，则∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，因为∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2，则OD＝4，利用全等证出△ANC≌△NOD（AAS），则阴影部分的面积＝扇形COD的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：连接OC交AD于N，
∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，∠M＝60°，
∴∠EDM＝30°，
∴△ABM是等边三角形，
∴BD＝MD＝2ME＝2，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2，
∴OD＝4，
∵AO＝OC，
∴AC＝OD，
∴△ANC≌△NOD（AAS），
∴阴影部分的面积＝扇形COD的面积＝＝π，
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PC＝x米，根据AF＝PF，构建方程求出x即可．
【解答】解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PF⊥AF，
依题意得：∠PAF＝45°，∠PBF＝60°，∠CBF＝30°，
∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝x米，则CB＝CP＝x米，
在Rt△CBF中，BF＝x•cs30°＝x米，CF＝x米，
在Rt△APF中，FA＝FP，
∴9+x＝x+x，
∴x＝9+3 ，
∴PC＝9+3 ≈14.2（米），
即该铁塔PC的高度约为14.2米．
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．
【分析】（1）先根据得出∠B＝∠APD，证明∠DPC＝∠BAP，得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APD＝∠C，证明△BAP∽△BCA，得出，根据AB＝6，BC＝10，求出，即可得出当时，PD∥AB．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，∠APD＝∠C，
∴∠B＝∠APD，
∵∠APC＝∠APD+∠DPC，∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB⋅CD＝CP⋅BP．
（2）解：如图，PD∥AB，
∴∠BAP＝∠APD＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴，
∵AB＝6，BC＝10，
∴，
∴，
即当时，PD∥AB．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝6，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+6，
解得m＝3，
∴AC＝3m＝9；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝15，AC＝9，BD＝6，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝9，CD＝2m＝6，∠C＝90°，
∴AD＝，
∴AE＝＝，
∴tan∠BAD＝，
即tan∠BAD的值是．
21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
【分析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴＝，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝42，
∴＝，
∴AB＝30（米），
答：此塔的高度有30米．
22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．
【分析】（1）连接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，从而得到∠OAD＝90°，得证DA是⊙O的切线；
（2）由AE⊥BD和直径为4结合垂径定理求得∠OAE、∠E和AE的长度，再结合∠ABC的度数求出∠AFE和∠FAE的大小，从而求出线段EF的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠ABC＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，
∵OA＝OB，AD＝OB，
∴OA＝AD，
∴∠AOD＝∠D＝45°，
∴∠OAD＝90°，
∴DA是⊙O的切线．
（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，
∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，
∵直径为4，
∴OA＝OE＝2，
∴AE＝2，
∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，
∴∠OAB＝ABC＝22.5°，
∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠FAE，
∴EF＝AE＝2．
23．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ 2t cm；OQ＝ 5﹣t cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，假设即可；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）PO＝2t，OQ＝5﹣t；
故答案为：2t，5﹣t．
（2）①若＝，即，
∴t＝2.5．
②若＝，即，
∴t＝1．
∴当t＝1或t＝2.5s时，△POQ与△AOB相似．
24．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形状是 等边三角形 ；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，连接MB，AN．
①求证：△ACN∽△BCM；
②求AN的长．
【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到CM＝CB，∠BCM＝60°，则根据等边三角形的判定方法可判断△BCM为等边三角形；
（2）①由于点D，E分别是边BC，AC的中点，所以＝，再根据旋转的性质得到CN＝CE，CM＝CD，∠ACN＝∠BCM＝60°，所以＝，从而可判断△ACN∽△BCM；
②先利用勾股定理计算出AC＝10，则CN＝CE＝5，过N点作NH⊥AC于H点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到CH＝，NH＝，然后在Rt△ANH中利用勾股定理可计算出AN的长．
【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，
∴CM＝CB，∠BCM＝60°，
∴△BCM为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）①证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴＝，
∵△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，
∴CN＝CE，CM＝CD，∠ACN＝∠BCM＝60°，
∴＝，
∵∠ACN＝∠BCM，
∴△ACN∽△BCM；
②∵∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，
∴AC＝＝10，
∴CN＝CE＝5，
过N点作NH⊥AC于H点，如图2，
在Rt△CNH中，
∵∠NCH＝60°，
∴CH＝CN＝，
∴NH＝CH＝，
∴AH＝AC﹣CH＝，
在Rt△ANH中，AN＝＝＝5．
A．B．C．D．
2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．4B．6C．9D．18
4．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）
A．B．30C．40D．50
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．BC2＝BD•BA
C．∠A＝∠BCDD．∠ADC+∠BCA＝180°
6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
二．填空题（共6小题，18分）
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 cm．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝ ．
11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）
12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于 ．
13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于 度．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共10小题，78分）
15．计算：
（1）2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．
23．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
24．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形状是 ；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，连接MB，AN．
①求证：△ACN∽△BCM；
②求AN的长．
山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用平方公式求出csA的值，然后利用tanA＝求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cs2A＝1；
∴csA＝＝＝，
∴tanA＝＝＝．
故选：D．
2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形，得出∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，根据AB是直径得出BD⊥AD，则BD∥OC，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，
∵AB是直径，
∴BD⊥AD，
∵OC⊥AD，则，
∴BD∥OC，
∴∠EDB＝∠DCO＝50°，
∴∠E＝∠DBA﹣∠BDE＝80°﹣50°＝30°，
故选：B．
3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．4B．6C．9D．18
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（ ）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：D．
4．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）
A．B．30C．40D．50
【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠EBC＝30°，AD∥EB，从而可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图，
由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE﹣∠DBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC＝＝＝50（km），
∴A，C两港之间的距离为50km，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．BC2＝BD•BA
C．∠A＝∠BCDD．∠ADC+∠BCA＝180°
【分析】根据相似三角形的判定定理求解判断即可．
【解答】解：由AC2＝AD•AB，∠CBD＝∠ABC，不能判定△BCD∽△BAC，
故A符合题意；
∵BC2＝BD•BA，
∴＝，
又∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故C不符合题意；
∵∠ADC+∠BCA＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝∠BCA，
又∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
故D不符合题意；
故选：A．
6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再 根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC＝，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝3，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD+∠DAH＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠BAD+∠EAC＝30°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，
∵BH＝AB＝3，
∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，
∴＝，
∴DH＝，
∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，
故选：A．
7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝OA，即为PA+PB的最小值．
【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，
∵∠ACM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，
∴∠AON＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，
由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′＝OA＝×1＝，
即PA+PB的最小值＝．
故选：C．
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴CH＝BC•sinB＝2，
∴PQ的最小值为：＝3，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 20 cm．
【分析】过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5xcm，即可求解．
【解答】解：如图，过B作BC⊥AC于C，
由i＝BC：AC＝3：4，
设BC＝3xcm，AC＝4xcm，
则AB＝5x＝25，
解得x＝5，
∴AC＝4×5＝20（cm）．
故答案为：20．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝ 5 ．
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴＝，
∵BD＝4DC，
设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴＝，
∴AD＝5，
故答案为：5．
11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 16 米．（结果精确到1米，参考数据）
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，BC＝12米，然后设CD＝x米，则BD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，
设CD＝x米，
∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝（x+12）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD•tan45°＝x（米），
∴x＝（x+12），
解得：x＝6+6，
∴AD＝6+6≈16（米），
∴建筑物AD的高度约为16米，
故答案为：16．
12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于 ．
【分析】证明△CAE≌△ABD（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACE＝∠BAD，证明△EAF∽△DAB，得出，过点D作DH∥CE，交AB于点H，求出EH＝BE＝，设AF＝3x，则AD＝7x，则3x•7x＝12，解方程求出DF的长，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAE＝∠ABD＝60°．
在△CAE与△ABD中，
，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠BAD，
∴∠AFE＝∠ACE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠AFE＝∠ABD，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴△EAF∽△DAB，
∴，
∴，
过点D作DH∥CE，交AB于点H，
∴，
∵AE＝BD＝2，AB＝BC＝6，
∴BE＝4，
∴EH＝BE＝，
∵EF∥DH，
∴＝，
∴，
设AF＝3x，则AD＝7x，
∴3x•7x＝12，
∴x＝（负值舍去），
∴AF＝，
∴DF＝，
∵∠AFE＝∠DFG＝60°，
∴DG＝DF•sin60°＝＝．
故答案为：．
13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于 23 度．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝67°，∠BAC＝46°，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，则利用互余可计算出∠ABE＝44°，然后计算∠ABC﹣∠ABE即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝67°，
∴∠ABC＝∠C＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠C＝46°，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣46°＝44°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝67°﹣44°＝23°．
故答案为：23．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为 2+ ．
【分析】根据S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆求解即可．
【解答】解：连接AE．
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠D＝90°，
∵AE＝AB＝2AD，
∴∠AED＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠EAB＝∠AED＝30°，DE＝AD＝2，
∴S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆
＝×2×2+﹣π×22
＝2+π﹣π
＝2+．
故答案为：2+．
三．解答题（共10小题）
15．计算：
（1）2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）根据菱形的对边平行，∠AED＝∠B即可证明两三角形都得相似．
（2）根据（1）的结论可得出＝，进而代入可得出AB2的值．
【解答】（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△DEA；
（2）解：∵△ABE∽△DEA，
∴＝，
∴AE•DE＝AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，
∴AB2＝AE•DE＝24，
∴AB＝2或﹣2（舍去）．
∴菱形ABCD的边长为2．
17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°，则∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，因为∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2，则OD＝4，利用全等证出△ANC≌△NOD（AAS），则阴影部分的面积＝扇形COD的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：连接OC交AD于N，
∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，∠M＝60°，
∴∠EDM＝30°，
∴△ABM是等边三角形，
∴BD＝MD＝2ME＝2，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2，
∴OD＝4，
∵AO＝OC，
∴AC＝OD，
∴△ANC≌△NOD（AAS），
∴阴影部分的面积＝扇形COD的面积＝＝π，
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PC＝x米，根据AF＝PF，构建方程求出x即可．
【解答】解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PF⊥AF，
依题意得：∠PAF＝45°，∠PBF＝60°，∠CBF＝30°，
∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝x米，则CB＝CP＝x米，
在Rt△CBF中，BF＝x•cs30°＝x米，CF＝x米，
在Rt△APF中，FA＝FP，
∴9+x＝x+x，
∴x＝9+3 ，
∴PC＝9+3 ≈14.2（米），
即该铁塔PC的高度约为14.2米．
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．
【分析】（1）先根据得出∠B＝∠APD，证明∠DPC＝∠BAP，得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APD＝∠C，证明△BAP∽△BCA，得出，根据AB＝6，BC＝10，求出，即可得出当时，PD∥AB．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，∠APD＝∠C，
∴∠B＝∠APD，
∵∠APC＝∠APD+∠DPC，∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB⋅CD＝CP⋅BP．
（2）解：如图，PD∥AB，
∴∠BAP＝∠APD＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴，
∵AB＝6，BC＝10，
∴，
∴，
即当时，PD∥AB．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝6，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+6，
解得m＝3，
∴AC＝3m＝9；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝15，AC＝9，BD＝6，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝9，CD＝2m＝6，∠C＝90°，
∴AD＝，
∴AE＝＝，
∴tan∠BAD＝，
即tan∠BAD的值是．
21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
【分析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴＝，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝42，
∴＝，
∴AB＝30（米），
答：此塔的高度有30米．
22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．
【分析】（1）连接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，从而得到∠OAD＝90°，得证DA是⊙O的切线；
（2）由AE⊥BD和直径为4结合垂径定理求得∠OAE、∠E和AE的长度，再结合∠ABC的度数求出∠AFE和∠FAE的大小，从而求出线段EF的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠ABC＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，
∵OA＝OB，AD＝OB，
∴OA＝AD，
∴∠AOD＝∠D＝45°，
∴∠OAD＝90°，
∴DA是⊙O的切线．
（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，
∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，
∵直径为4，
∴OA＝OE＝2，
∴AE＝2，
∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，
∴∠OAB＝ABC＝22.5°，
∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠FAE，
∴EF＝AE＝2．
23．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ 2t cm；OQ＝ 5﹣t cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，假设即可；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）PO＝2t，OQ＝5﹣t；
故答案为：2t，5﹣t．
（2）①若＝，即，
∴t＝2.5．
②若＝，即，
∴t＝1．
∴当t＝1或t＝2.5s时，△POQ与△AOB相似．
24．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形状是 等边三角形 ；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，连接MB，AN．
①求证：△ACN∽△BCM；
②求AN的长．
【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到CM＝CB，∠BCM＝60°，则根据等边三角形的判定方法可判断△BCM为等边三角形；
（2）①由于点D，E分别是边BC，AC的中点，所以＝，再根据旋转的性质得到CN＝CE，CM＝CD，∠ACN＝∠BCM＝60°，所以＝，从而可判断△ACN∽△BCM；
②先利用勾股定理计算出AC＝10，则CN＝CE＝5，过N点作NH⊥AC于H点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到CH＝，NH＝，然后在Rt△ANH中利用勾股定理可计算出AN的长．
【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，
∴CM＝CB，∠BCM＝60°，
∴△BCM为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）①证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴＝，
∵△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，
∴CN＝CE，CM＝CD，∠ACN＝∠BCM＝60°，
∴＝，
∵∠ACN＝∠BCM，
∴△ACN∽△BCM；
②∵∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，
∴AC＝＝10，
∴CN＝CE＝5，
过N点作NH⊥AC于H点，如图2，
在Rt△CNH中，
∵∠NCH＝60°，
∴CH＝CN＝，
∴NH＝CH＝，
∴AH＝AC﹣CH＝，
在Rt△ANH中，AN＝＝＝5．
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