四川省南充市阆中东风中学2023-2024学年高一数学上学期第一次段考试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市阆中东风中学2023-2024学年高一数学上学期第一次段考试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解即得.
【详解】集合，，则.
故选：B
2. 已知命题：，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定为特称命题，写出结果即可.
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，
所以命题：的否定为：
：.
故选A.
3. 函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象即可得到函数的单调增区间.
【详解】根据图像易得单调增区间为，
故选：C.
4. 已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】解：，，．
，．
．
故选：B．
5. ，，若，则的取值集合为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．
【详解】，
，，
，或，
或或．
的取值集合为．
故选D．
【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
6. 已知,且满足,那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】解：∵,且满足,
那么
.
当且仅当时取等号.
∴最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用“乘1法”是基本不等式求最值中的重要方法,基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”.
7. 函数在上单调递减，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次函数图象可知对称轴在区间的左侧时满足题意，解不等式可得.
【详解】根据题意可知关于对称，且开口向下；
若函数上单调递减，则，解得.
故选：C
8. 已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据条件判断函数单调性，利用单调性列出限制条件可得答案.
【详解】因为，所以函数为增函数，
所以，解得.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. 所有的正方形都是矩形B. 有些梯形是平行四边形
C. ，D. 至少有一个整数，使得
【答案】CD
【解析】
【分析】判断各选项中命题的类型，并判断出各命题的真假，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，该命题为真命题，A不满足要求；
对于B选项，命题“有些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B不满足要求；
对于C选项，命题“，”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，C满足要求；
对于D选项，命题“至少有一个整数，使得”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，D满足要求.
故选：CD.
10. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.
【详解】对于A, 的定义域为,
的定义域为,
且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;
对于B, 的定义域为,
的定义域为,
所以不是同一函数,故B错误;
对于C，
与对应关系不相同,故C错误;
且定义域为,
定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.
故选:AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对各选项逐一通过作差，不等式的性质或者举特例即可确定对应选项的正确性而得解.
【详解】对于A，因，则，即，A正确；
对于B，时，取，则，即不成立，B不正确；
对于C：因，则，于是有，C正确；
对于D，，当时，，即不成立，D不正确.
所以说法正确的是只有选项AC.
故选：AC
12. 将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，能满足题意的是（ ）
A. 9.5mB. 10.2mC. 10.5mD. 11m
【答案】CD
【解析】
【分析】先设直角三角形的框架的两条直角边为，则，此时三角形框架的周长为，再根据基本不等式，求出周长的最小值即可得解．
【详解】设直角三角形的框架的两条直角边为，
则，即，
此时三角形框架的周长为，
当且仅当时，取等号，
因为，所以，
所以在选项中4种长度的铁丝中，能满足题意的是CD.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “”是“”的______条件．（填“充分不必要 、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中的一个）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念直接得出结果.
【详解】由得或,
所以“”是“”的不充分条件；
若则为真命题，
所以“”是“”的必要条件.
综上可得，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
14. 已知函数，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数解析式即得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15. 函数定义域是，则的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，所以函数中，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
16. 已知是定义在上的减函数，且，则的取值集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数单调性和定义域的要求可得自变量所满足的不等关系，解不等式求得结果.
【详解】的定义域为，，解得：，
又为定义域上的减函数且，，解得：，
综上所述：取值集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列不等式的解集．
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，直接求解即可.
【小问1详解】
由，得，
解得：或，
故不等式的解集为：；
小问2详解】
由， 得，
解得：或，
故不等式的解集为.
18. 已知函数（且）．
（1）求的值；
（2）求证：是定值；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式将和代入计算可得；
（2）将化简计算即可得出，即可证明是定值.
【小问1详解】
由可知，
代入计算可得；
【小问2详解】
证明：，
（且）
19. 已知全集，，非空集合．
（1）当时，求；
（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得到集合AB，再利用集合的补集和交集运算求解；
（2）易知，结合，由求解.
【小问1详解】
解：∵时，，
，
全集，
∴或．
∴A=．
【小问2详解】
∵命题：，命题：，是的必要条件，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，解得或，
故实数取值范围．
20. 设函数，
（1）画出函数的图像；
（2）求出的解集，并写出函数的值域．
【答案】（1）图象见解析；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数的图象；
（2）根据函数的图象结合解析式可得不等式的解集及函数的值域.
【小问1详解】
因为，
图象如图所示：
；
【小问2详解】
令得：或，
结合图象知的解集为，
又由图象可知，函数处取得最大值，
因为当时，，
所以，
故的值域为.
21. 已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，，求此不等式的解集．
【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．
【解析】
【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.
（2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集.
【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根，
∴，且，
解得，，∴．
（2）若，，原不等式为，
∴，∴．
∴时，，原不等式解集，
时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
当时，原不等式解集为．
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22. 近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？
（2）若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值．
【答案】（1）80； （2）14.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解.
（2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可.
【小问1详解】
依题意，，整理得：，即，而，解得，
所以调整后技术人员的人数x最多为80.
【小问2详解】
依题意，，整理得：，
，而当时，，当且仅当时取等号，因此，
所以正整数t的最大值为14.