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四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附答案）
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这是一份四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题
1、已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意在，中，
，∴故选：B.
2、已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】，则.故选：C
3、执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
A B. C. 或D. 1
【答案】B
4、某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
【答案】B
5、已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
6、“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
7、已知，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
8、已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ）．
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】根据题意，设等差数列，
又是关于n的一次式，可得，
所以，则，故选B．
9、蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
10、为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加，，三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 48种D. 64种
【答案】B
【解析】若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故选：B
11、已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A中，函数为偶函数，则有，可得，
又由为奇函数，则，
则有，所以，即，所以A错误；
对于B中，函数为偶函数，则有，所以B不正确；
对于C中，由，则，
所以是周期为4的周期函数，所以，所以C正确；
对于D中，由是周期为4的周期函数，可得，其中结果不一定为0，所以D错误.
故选：C.
12、已知，，则下列命题：①； ②； ③；④，其中真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】因为，，则，.
对于①，，则，从而，，则，则，即，①对；
对于②，，因为，则，，所以，，②错；
对于③，，所以，，所以，，③错；
对于④，构造函数，其中，则.当时，，则函数在上单调递增，因为，则，即，可得，所以，，④对.故选：B.
二、填空题
13、已知等差数列满足，，则的前项的和为
【答案】
14、的展开式中，的系数为
【答案】-40
【解析】的展开式中，的系数为.
15、已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则
【答案】
16、锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为 .
【答案】
因为，且，所以；由正弦定理得：，所以；又锐角三角形中，，则，即；
所以，由于锐角三角形，所以，解得；所以：
；
由于，则在上递减，在上递增；所以在上递减，于是有，即的取值范围为.故答案为：
解答题
17、已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】（1）因为 ①，
所以当时， ②．
因为，所以由得，即．所以，即．
由，得，所以，所以．
所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，即，
所以．
所以
．
18、如图，在直三棱柱中，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，则是的中点，连接，又是的中点，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
设是平面的法向量，由可得令，得.
设是平面的法向量，由可得令，得.
所以，即二面角的余弦值为.
19、某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）依题意，，由二项分布可知，.
,,
,,
所以的分布列为：
.
（2）记水电站的总利润为（单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，；
②若安装2台发电机，
当时，只一台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
.
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
当时，3台发电机运行，此时，，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.
20、如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】（1）因为，为锐角，所以．因为，，在中，由余弦定理得，即，得．
在中，由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以，故，所以；
（2）在中，由正弦定理得，又，，，
即，所以．因为，，，
所以，所以，
所以，所以的面积.
21、已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
参考数据：，.
【答案】（1）当时，，则.令，得；令，得.
故函数的单调递减区间为，调递增区间为；
（2）因为当时，恒成立，且，由，可得.因为，所以，设，则.
设，则.令，得；令，得.
故函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，所以存在，使.
当或时，；当时，.则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以对一切的恒成立.
故的取值范围为.
22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．
【答案】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，
所以的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，
由的几何意义可设，，因为点在内，所以方程必有两个实数根，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，即，所以的普通方程为，则的极坐标方程为.
23. 已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）设，求证：．
【解析】（1）由题设，而在、、上均能取到最小值，
对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为.
（2）由，仅当取等号，
要证，即证，则，年入流量
发电机最多可运行台数
1
2
3
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题
1、已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意在，中，
，∴故选：B.
2、已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】，则.故选：C
3、执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
A B. C. 或D. 1
【答案】B
4、某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
【答案】B
5、已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
6、“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
7、已知，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
8、已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ）．
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】根据题意，设等差数列，
又是关于n的一次式，可得，
所以，则，故选B．
9、蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
10、为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加，，三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 48种D. 64种
【答案】B
【解析】若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故选：B
11、已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A中，函数为偶函数，则有，可得，
又由为奇函数，则，
则有，所以，即，所以A错误；
对于B中，函数为偶函数，则有，所以B不正确；
对于C中，由，则，
所以是周期为4的周期函数，所以，所以C正确；
对于D中，由是周期为4的周期函数，可得，其中结果不一定为0，所以D错误.
故选：C.
12、已知，，则下列命题：①； ②； ③；④，其中真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】因为，，则，.
对于①，，则，从而，，则，则，即，①对；
对于②，，因为，则，，所以，，②错；
对于③，，所以，，所以，，③错；
对于④，构造函数，其中，则.当时，，则函数在上单调递增，因为，则，即，可得，所以，，④对.故选：B.
二、填空题
13、已知等差数列满足，，则的前项的和为
【答案】
14、的展开式中，的系数为
【答案】-40
【解析】的展开式中，的系数为.
15、已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则
【答案】
16、锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为 .
【答案】
因为，且，所以；由正弦定理得：，所以；又锐角三角形中，，则，即；
所以，由于锐角三角形，所以，解得；所以：
；
由于，则在上递减，在上递增；所以在上递减，于是有，即的取值范围为.故答案为：
解答题
17、已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】（1）因为 ①，
所以当时， ②．
因为，所以由得，即．所以，即．
由，得，所以，所以．
所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，即，
所以．
所以
．
18、如图，在直三棱柱中，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，则是的中点，连接，又是的中点，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
设是平面的法向量，由可得令，得.
设是平面的法向量，由可得令，得.
所以，即二面角的余弦值为.
19、某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）依题意，，由二项分布可知，.
,,
,,
所以的分布列为：
.
（2）记水电站的总利润为（单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，；
②若安装2台发电机，
当时，只一台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
.
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
当时，3台发电机运行，此时，，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.
20、如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】（1）因为，为锐角，所以．因为，，在中，由余弦定理得，即，得．
在中，由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以，故，所以；
（2）在中，由正弦定理得，又，，，
即，所以．因为，，，
所以，所以，
所以，所以的面积.
21、已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
参考数据：，.
【答案】（1）当时，，则.令，得；令，得.
故函数的单调递减区间为，调递增区间为；
（2）因为当时，恒成立，且，由，可得.因为，所以，设，则.
设，则.令，得；令，得.
故函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，所以存在，使.
当或时，；当时，.则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以对一切的恒成立.
故的取值范围为.
22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．
【答案】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，
所以的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，
由的几何意义可设，，因为点在内，所以方程必有两个实数根，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，即，所以的普通方程为，则的极坐标方程为.
23. 已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）设，求证：．
【解析】（1）由题设，而在、、上均能取到最小值，
对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为.
（2）由，仅当取等号，
要证，即证，则，年入流量
发电机最多可运行台数
1
2
3
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
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