湖南省张家界市慈利县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份湖南省张家界市慈利县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟．
一、选择题（每小题3分，共10道小题，合计30分）
1. 下列函数是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】形如的函数是反比例函数，根据定义逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，是正比例函数，不是反比例函数；
B、是反比例函数；
C、不是反比例函数；
D、不是反比例函数；
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知概念是关键.
2. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，
解得：m=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 4cm，5cm，6cm，7cmB. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 5cm，15cm，3cm，9cmD. 8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．
【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
4. 已知点，，三点都在反比例函数的图像上，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由非负数的性质可得，再由反比例函数的性质可得，，由此即可得．
【详解】∵，
∴，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解决问题的关键．
5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6. 用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将一元二次方程进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；据此进行运算后判断，即可求解．
【详解】解：，
，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键．
7. 关于的方程有实数根，则满足（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于的方程有实数根，那么分两种情况：（1）当时，方程一定有实数根；（2）当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围．
【详解】解：分类讨论：
当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；
当即时，
关于的方程有实数根
，
．
的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
8. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，选项A正确，符合题意；
选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项C、D均错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
9. 已知方程有两个正数根，那么函数与函数在同一坐标系里的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，得到，判断出反比例函数和一次函数的图象所过的象限，进行判断即可．
【详解】解：∵方程有两个正数根，
∴两根之和为，两根之积为，
∴，，
∴函数的图象过二，四象限，函数的图象过一、二、四象限，
∴满足题意的，只有选项D．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的综合判断．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得到，．
10. 如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明，过点做于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点．
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明是解本题的关键．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 已知反比例函数的图象经过点，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由反比例函数解析式知，所以把点代入，即可求得的值．
【详解】解：由，得，
反比例函数图象经过点，
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
12. 已知，若，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据等比性质，可得答案．
【详解】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等比性质，即如果，则．解题关键是掌握并运用等比性质．
13. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14. 如图，在中，点E在上，若，则________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，进而证明，可得．
【详解】解：中，，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
15. 如图，在中，，是边上的高，若，则的值是_________．
【答案】16
【解析】
【分析】先由角的互余关系，导出，结合，证明，利用相似三角形的性质，列出比例式，变形即可得答案．
【详解】解：∵，于点D，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，而，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质．
16. 已知点（1，3）在函数的图象上，正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图象又经过、两点，则点的横坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a和b的值，得到E的坐标．
【详解】解：把(1,3)代入到y=得：k=3，
故函数解析式为y=，
设A(a, )(a>0),根据图象和题意可知,点E(a+,)，
因为y=的图象经过E，
所以将E代入到函数解析式中得： (a+)=3，
即=，
求得：a=或a=− (不合题意,舍去)，
∴a=，
∴a+=，
则点E的横坐标为.
故答案为.
【点睛】此题考查学生会根据一点的坐标求反比例的解析式，灵活运用正方形及反比例函数的性质解决实际问题，是一道中档题.
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理后，利用配方法求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【答案】树高AB是9米
【解析】
【分析】先证得△DEF∽△DCB，可得，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．
【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m，
由勾股定理得DE＝＝0.4 m，
∴，
∴BC＝7.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19. 已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】（1）函数的解析式为I=；
（2）用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【解析】
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【小问1详解】
解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
【小问2详解】
解：∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
20. 如图，在中，，D是边上一点，．求证．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明．
详解】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
21. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为
（2）当商品降价5元时，商品获利4250元
【解析】
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【小问1详解】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22. 关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为且满足，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
【小问1详解】
∵
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
∵方程的两根为
∴,
∵
∴
解得：
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
23. 如图，已知中，，点D边上一点，且．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）可证，，从而可得，即可得证；
（2）可得，，从而可证，即可得证．
【小问1详解】
证明：，
∴，，
，
，
，
．
小问2详解】
证明：，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
24. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量x的取值范围；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为
（2）或
（3）点或
【解析】
【分析】（1）将的坐标代入反比例函数可得反比例函数的关系式，将的坐标代入一次函数可确定一次函数的关系式；
（2）求出两个函数的交点坐标，再根据图象和交点坐标直接得出答案；
（3）利用面积公式，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将的坐标代入反比例函数得，
，
∴反比例函数的关系式为，
将，的坐标代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为，
【小问2详解】
由于方程组
的解为，，
∴一次函数与反比例的交点坐标为和(-4，)，
又∵，
∴，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或；
【小问3详解】
∵
，
设点，则，
由，
，
解得或，
∴点或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，根据图象求不等式的解集，求出一次函数、反比例函数关系式是解决问题的关键．
25. 如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同时出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.
（1）当 时，求 的面积；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .
（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）；（2） ；（3）或.
【解析】
【分析】（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；
（2）当四边形是平行四边形时，，即，解出即可；
（3）以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①，②，③分别求出t即可.
【详解】（1）过点作于，则四边形为矩形．
，
，
．
把代入得到：；
（2）当四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
当时，四边形是平行四边形．
（3）由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，由得，解得；
②若，在中，，由得，即，
此时，△，
所以此方程无解，．
③若，由得得，（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.