江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，答题纸交回，“”是“直线和直线垂直”的，下列说法中，正确的有，圆和圆的交点为，则等内容，欢迎下载使用。
命题人：黄荣 审题人：程丽军
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.
1.答题前，请您务必将自己的姓名､考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上.
2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损.
3.考试结束后，答题纸交回.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.点到直线的距离等于（ ）
A. B.1 C. D.2
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.的展开式中项的系数是（ ）
A.56 B.-56 C.28 D.-28
4.“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（ ）
A. B. C.6 D.
7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题目要求的.
9.下列说法中，正确的有（ ）
A.直线在轴上的截距为1
B.直线的倾斜角为
C.直线必过定点
D.过点在和轴上的截距相等的直线只有
10.圆和圆的交点为，则（ ）
A.公共弦所在直线的方程为
B.线段中垂线的方程为
C.公共弦的长为
D.两圆圆心距
11.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（ ）
A.
B.双曲线的渐近线方程为
C.双曲线的离心率为
D.
12.下列说法不正确的是（ ）
A.椭圆的离心率是.
B.双曲线与椭圆的焦点相同.
C.为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满足
D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有一个.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________.
14.已知直线与椭圆交于两点，则__________.
15.现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是__________（用数字作答）.
16.已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是__________（填序号）.
①；②；③；④.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（12分）（1）计算：；
（2）求值：.
18.（12分）6位同学报名参加2023年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
19.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线，求：
（1）求圆心为的圆的标准方程：
（2）设点在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，求四边形的面积：
20.（12分）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
21.（12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设直线的斜率分别为，证明：.
22.（12分）已知抛物线的焦点为；
（1）求抛物线的方程；
（2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程；
（3）过点作两条互相垂直的直线直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，且点分别为线段的中点，求的面积的最小值.
南昌十中2022-2023学年第一学期期中考试试题参考答案
高二数学
一､单选题
二､多选题
三､填空题
13.2 14. 15.260 16.①②
四､解答题
17.【详解】（1）；
（2）由组合数的定义知：
或.
当；
当.
18.【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲､乙､丙､丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为和两种分组方式，
共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意減去不满足题意的情况共有种.
19.【详解】（1）圆心在直线上，则，则有
，解得，
故圆心为，半径，故圆心为的圆的标准方程为
（2）由圆的性质，过点的最长弦过圆心，即为直径，.
最短弦垂直于，由垂径定理得
，
故四边形的面积为.
20.【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离
，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，直线的斜率为，
则，
又有，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
21.【详解】（1）解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，
则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，
则，可得，
所以，，所以，椭圆的方程可表示为，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）解：设点，联立可得，
，解得，显然，否则直线过点，
由韦达定理可得，
所以，
，
因此，.
22.【详解】（1）解：抛物线的焦点为，
可得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）解：设，
因为线段的中点为，可得，即，
又因为动点在抛物线上，可得，
化简得，即点的轨迹方程为.
（3）解：由题意知，直线的斜率均存在，
不妨设，
则，
联立方程组，整理得，
则，即，且，
所以，所以，
同理可得：
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为4.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
B
A
A
A
B
A
C
题号
9
10
11
12
选项
AC
ABD
CD
CD