天津市第四十七中学2023-2024学年高二数学上学期10月第一次月考试题(Word版附解析)
展开
这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高二数学上学期10月第一次月考试题(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了选择题等内容,欢迎下载使用。
第一次阶段性检测 数学试卷
一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题,每题5分,共45分.)
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程求出直线斜率,再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角.
【详解】可化为:,
∴直线的斜率为,设直线的倾斜角α,则,
∵,∴.
故选:D.
2. 是直线与直线互相垂直的( ).
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线互相垂直求出的值,从而判断结论.
【详解】因为直线与直线互相垂直,
所以,
解得或,
所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件.
故选:A.
3. 设x,y∈R,向量,且,则( )
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的关系列等式求解x,y的值,再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式,结合向量的模计算得出结果.
【详解】解:向量,
且,
∴,解得
∴,
∴,选项B正确.
故选:B.
4. 圆与圆的公切线共有
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】D
【解析】
【分析】把两个圆方程化成标准方程,分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径,比较圆心距与两圆半径和与差的关系,判断出两圆的位置关系,进而可以判断出有几条公切线.
【详解】 圆心坐标为(2,0)半径为2;
圆心坐标为,半径为1,
圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.
故本题选D.
【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数.解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径,比较圆心距与两圆半径和差的关系.
5. 已知点是圆上的动点,点,则的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出线段中点的坐标,利用中点坐标公式求出的坐标,根据在圆上,得到轨迹方程.
【详解】设线段中点,则.
在圆上运动,
,即.
故选:A.
【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法,考查学生的计算能力,属于基础题.
6. 如图,已知正三棱柱的棱长均为2,则异面直线与所成角的余弦值是
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】以AC的中点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
,,,,
向量,,
.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解,空间向量的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2,则的值为( )
A. B. C. 3D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,联立两个圆的方程,可得两圆的公共弦所在的直线的方程,由直线的方程可得该直线与,轴交点的坐标,进而可得,解可得的值,即可得答案.
【详解】根据题意,圆与圆,
即,两式相减可得:,
即两圆的公共弦所在的直线的方程为,
该直线与轴的交点为,与轴的交点为,
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2,则有,
变形可得:,
解可得:或;
故选:D
8. 已知直线:是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则
A. 2B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:直线l过圆心,所以,所以切线长,选C.
考点:切线长
9. 设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:易得.设,则消去得:,所以点P在以AB为直径的圆上,,所以,令,则
.因为,所以.所以,.选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数,所以,点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆;2、三角代换.
二、填空题:(本大题共6小题,每题5分,共30分)
10. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆的弦长公式,结合点线距离公式即可得解.
【详解】因为圆的圆心为,半径,
它到直线距离,
所以弦的长.
故答案为:.
11. 已知实数x,y满足方程.则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】当直线与圆相切时,取得最值,利用切线的性质求出;
【详解】解:设圆,即.
设,则当直线与圆相切时,直线斜率最大或最小,即最大或最小.
如图所示:
设直线与圆切于第一象限内的点,则,,,
,
由图象的对称性可知当与圆相切于第四象限内时,.
的最大值为,最小值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查直线的斜率公式,点到直线的距离公式的应用,直线和圆相切的性质,属于中档题.
12. 直线,若,则a的值为______;此时与的距离是______.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由直线平行的判定列方程求参数a,注意验证排除重合的情况,再根据平行线距离公式求距离.
【详解】由,则,即,可得或,
当时,,符合题设;
当时,为同一条直线,不合题设;
综上,,此时,
所以与的距离.
故答案为:,
13. 如图,在平行六面体中,,,,,,点为棱的中点,则线段的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积求得向量的模,即可求得线段的长
【详解】
则
即线段的长为
故答案为:
14. 已知,点在直线,圆:,则最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标,可得的最小值.
【详解】因为可转化为:,则圆心为,半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为,
则:,解得,即,
所以的最小值是,
故答案为:.
15. 若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题可知曲线,表示圆心为,半径,在直线及右侧的半圆,作出直线与半圆,利用数形结合即得.
【详解】方程是恒过定点,斜率为的直线,
曲线,即,
表示圆心为,半径,在直线及右侧的半圆,半圆弧端点
在同一坐标系内作出直线与半圆),如图,
当直线与半圆C相切时,得,且,
解得,又,
所以或,所以或.
故答案为:.
三、解答题.(本大题共5小题,共75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. 已知,,分别为锐角三角形三个内角的对边,且.
(1)求;
(2)若,,求;
(3)若,求的值.
【答案】(1)
(2)3 (3)
【解析】
【分析】(1)根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得;
(2)利用余弦定理解方程可得;
(3)根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出.
【小问1详解】
由于,所以,
由根据正弦定理可得,
所以,且三角形为锐角三角形,即
所以.
【小问2详解】
在中,由余弦定理知,
即,解得或(舍),
故.
【小问3详解】
由,可得,
所以,
,
即
17. 如图,在三棱台中,,,,侧棱平面,点是棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求点到平面的距离;
(3)求点到直线的距离.
【答案】(1)见解析 (2)
(3)
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明线线垂直;
(2)利用向量法求由点到面的距离公式求解;
(3)利用向量中点到直线的距离公式求解.
【小问1详解】
以点为原点,分别以,,所在的直线为,,轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,,
,,,,
∴,,
又∴,,平面,
∴平面
【小问2详解】
设平面的法向量,取,
则,即,故
令,解得,
故平面的一个法向量,
点到平面的距离.
【小问3详解】
,,
,
点到直线距离.
18. 求满足下列条件的直线方程.
(1)过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程;
(2)已知,,两直线,交点为,求过点且与距离相等的直线方程;
(3)经过点,并且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)或;(2)或;
(3)或..
【解析】
【分析】(1)根据题意,分直线过原点和直线不过原点时,两种情况讨论,结合直线截距式方程,即可求解;
(2)联立方程组求得,分直线过点且与平行和直线过点和中点,求得直线的斜率,结合点斜式方程,即可求解;
(3)根据题意,求得圆心,半径,分切线斜率存在和切线斜率不存在,两种情况讨论,求得切线的方程,即可得到答案.
【详解】解:(1)当直线过原点时,可得所求直线为,即,满足题意;
当直线不过原点时,设直线的方程为,其中,
代入,可得,解得,
所以所求直线的方程为,即,
综上可得,直线的方程为或.
(2)由题意,联立方程组,解得,所以,
当直线过点且与平行,可得,即直线的斜率,
所以直线的方程,即;
当直线过点和中点,因为,,可得,则,
所以直线方程,即,
综上,满足条件直线方程为或.
(3)将圆的方程,化为,可得圆心,半径,
将点代入,可得,所以点在圆外,
①当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
由圆心到直线的距离等于圆的半径,可得,解得,
所以所求直线的方程为,即;
②当切线斜率不存在时,此时过点的直线方程为,
此时满足圆心到直线距离等于圆的半径,即直线与圆相切,符合题意,
综上可得,所求切线为或.
19. 如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)
(3)存,
【解析】
【分析】(1)取中点,连接,证明、、两两垂直,建立空间直角坐标系,先证明直线向量与平面法向量数量积为零,进而证明直线与平面平行;
(2)利用向量法即可求出二面角的余弦值;
(3)假设存在,设,利用向量法根据线面角求出,从而可得出答案.
【小问1详解】
证明:取中点,连接,
因为,又因为,
所以四边形为平行四边形,
所以,又因为,所以,
因为四边形为矩形,所以,
又因为平面平面,平面平面,
所以平面,
又平面,所以,,
于是、、两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
则,2,,,0,,,2,,
设平面的法向量为,,,
,令,,0,,
因为,所以,
又因为平面,所以平面;
【小问2详解】
解:,,,,0,,
设平面的法向量为,,,
,可取,,,
,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为;
【小问3详解】
假设存在,设,
则,
所以,
因为直线与平面所成角的正弦值为,
所以,解得或,
当时,,,
当时,,,
所以存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,.
20. 已知圆M与直线相切于点,圆心M在轴上.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若直线与圆M交于P,Q两点,求弦的最短长度;
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线,分别与直线相交于C,D两点,记,的面积为,,求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为
【解析】
【分析】(1)设圆的方程为,再由直线与圆相切于点,可得关于与的方程组,求得与的值,则圆的方程可求;
(2)直线恒过定点,且该点在圆内,当直线截圆的弦以定点为中点时,弦长最短;
(3)由题意知,,设直线的方程为,与圆的方程联立求得的坐标,同理求得的坐标,进一步求出与的坐标,写出,利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
解:由题可知,设圆的方程为,
由直线与圆相切于点,
得,解得,,
圆的方程为;
【小问2详解】
解:由直线
有:;
得,即
即直线恒过定点;
又,即点在圆内部;
圆的圆心为;设直线恒过定点;
当直线与直线垂直时,圆心到直线的距离最长,此时弦长最短;
此时,弦长最短为;
【小问3详解】
解:由题意知,,设直线的斜率为,则直线的方程为,
由,得,解得或,
则点的坐标为,
又直线的斜率为,
同理可得:点的坐标为
由题可知:,
,
又,同理,
.
当且仅当时等号成立.
的最大值为.
【点睛】本题考查圆的方程的求法,考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,考查运算求解能力,是中档题.