江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，星期五.”等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 平行四边形的对边相等B. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
C. 菱形的对角线相等且平分D. 矩形的对角线相等且互相平分
2. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ）
A. 3B. 0C. 3或0D. 2
3. 某轨道列车共有3节车厢，设旅客从任意一节车厢上车的机会均等，某天，甲、乙两位乘客同时乘一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知下列条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
5. 小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下：
据此可知，方程的一个解x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，为等边三角形，若，则OE的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图，在菱形ABCD中，，则______.
第7题图
8. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______.
9. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里可能有______个白球.
10. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______.
11. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，若，则的度数为______.
第11题图
12. 如图，，，，，，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当与相似时，BP的长为______.
第12题图
三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程：.
（2）如图：在正方形ABCD中，点E、F在AC上，且，求证：四边形BEDF是菱形.
14. 先阅读下面某校九年级师生的对话内容，再解答问题（温馨提示：一周只上五天课，另外，考试时每半天考一科且只能安排在周一到周五）
小红：“听说下周会进行连续两天的期中考试.”
吴老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚.”
小凡：“我估计是星期四、星期五.”
（1）求小凡猜对的概率.
（2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用列表或画树状图的方式求恰好在同一天考语文、数学的概率.
15. 如图，已知，，求证：.
16. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？
17. 如图，在正方形ABCD中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②
（1）在图①中，画出AD的中点M；
（2）在图②中，画出CD的中点N.
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，一张矩形纸片ABCD，将点B折叠到对角线AC上的一点M处，折痕CE交AB于点E，将点D折叠到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F.
（1）求证：.
（2）当的大小为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由.
19. 已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根.
20. 如图，在和中，已知，，，，，连接AD、BE.
（1）求证：.
（2）若，求的面积.
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 电影（长津湖）是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极严寒环境下坚守阵地奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事，2023年国庆节来临之际，某电影院开展“纪念英烈，铸中华魂”系列活动，对团体购买电影票实际优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只需花1200元.
（1）求每张电影票的原定零售票价？
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率.
22. 如图①，在中，，，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.
备用图
（1）问题发现：
①当时，______.
②当时，______.
（2）拓展探究：
当时，的大小有无变化？仅就图②的情形给出证明；
（3）问题解决：
当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：.
（2）连接MQ、PN，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由.
（3）矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由.
2023-2024学年度上学期第一次阶段性学情评估
九年级数学参考答案
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 8. 且 9. 9 10. 4 11. 12. 或2cm或12cm
三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分）
13.（1）解：整理得，，
因式分解，得，
即或，
解得，……（3分）
（2）如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于点O，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴四边形BEDF是菱形……3分
14.（1）P（小凡猜对）（2分）
（2）画树状图如图所示
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好在同一天考语文、数学的结果有4种，
所以P（恰好在同一天考语文、数学）……（6分）
15. 证明：∵，，∴，
∴，即……（3分）
∵，，∴，
∴，∴……（6分）
16. 解：设这批椽有x株，
依题意得……（3分）
整理得，
解得，（不合题意，舍去）
答：这批椽的数量为46株……（6分）
17.（1）点M为所求（3分） （2）点N即为所求（6分）
图① 图②
18.（1）证明：四边形ABCD为矩形，∴，∴，
由折叠知，，
∴，∴……（4分）
（2）当，四边形AECF是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，，
由（1）知，，∴四边形AECF是平行四边形，则，即，
由折叠可得：，∴，∴……（8分）
19.（1）证明：
，
因为无论k取任何实数，恒成立，即恒成立，
所以无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根……（5分）
（2）把代入原方程，得，
解得，
所以原方程为，
解得，，
所以该方程的另一个根为2……（8分）
20.（1）证明：∵，∴，
∴，
∵，∴……（4分）
（2）如图，过点A作于点G，则，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴……（8分）
21. 解：（1）设每张电影票的原定零售价是x元，依题意得：，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意.（5分）
（2）设平均每次降价的百分率为y，依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率为10%.
22. 解：（1）① ②……（2分）
（2）无变化，在题图①中，∵DE是的中位线，∴，
∴，，如题图②，
∵在旋转过程中形状、大小不变，∴仍然成立，
又∵，∴，∴，
在中，，
∴，∴，
∴的大小不变……（7分）
（3）BD的长为或……（9分）
23.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵M、N分别是AD、BC的中点，∴，
∴，∴……（4分）
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：
如图，连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∵P是BM的中点，∴，
同理可得，
∵，∴，
∴四边形MPNQ是菱形.
（3）当时，四边形MPNQ是正方形，理由如下：
如图：连接PQ、AP.
由（2）可知，四边形MPNQ是菱形，∴，
∵，∴，
∵P、Q分别是AN、DN的中点，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴菱形MPNQ是正方形.
x
0
0.5
1
1.5
2
－1
－5.375
－3
6.875
25
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
C
C
C
B