长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（原卷及参考答案）

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时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若对数函数经过点（4，2），则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．已知a，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
6．心理学家有时用函数来测定人们在时间t（min）内能够记忆的单词量L，其中k表示记忆率．心理学家测定某学生在10min内能够记忆50个单词，则该学生在30 min内能记忆的单词个数为（ ）
A．150B．128C．122D．61
7．已知函数的定义域为R，满足，当，，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．C．D．
11．以下计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ）
A．，
B．不等式的解集为
C．当，的最小值为
D．方程的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（且），则必过的定点M的坐标为_________．
14．已知函数，为R上的奇函数，则_________．
15．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________．
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为_________．
（2）已知函数与一次函数有两个交点M（，），N（，），则_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
已知幂函数在定义域内单调递增．
（1）求的解析式；
（2）求关于x的不等式的解集．
18．（本小题12分）
设，函数（）．
（1）若函数是奇函数，求a的值；
（2）请判断函数的单调性，并用定义证明．
19．（本小题12分）
已知，．
（1）若，n=8，求，；
（2）若，求m的取值范围．
20．（本小题12分）
佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器，生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
21．（本小题12分）
已知二次函数．
（1）若，使等式成立，求实数a的取值范围．
（2）解关于x的不等式（其中）．
22．（本小题12分）
对于函数，，如果存在一对实数a，b，使得，那么称为，的亲子函数，（a，b）称为关于和的亲子指标．
（1）已知，，试判断是否为，的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．
（2）已知，，为，的亲子函数，亲子指标为（，m），是否存在实数m，使函数在上的最小值为，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．