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湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题及参考答案
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这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题及参考答案，文件包含精品解析湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题原卷版docx、精品解析湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B. 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
4. 在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1
6. 抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为
A. B. C. D.
7. 已知定义在R上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为．
共中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 焦点在x轴椭圆中截得最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆和圆相交于两点，下列说法正确是（ ）．
A. 圆的圆心为，半径为1B. 直线的方程由为
C. 圆心到的距离为D. 线段的长为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 的图象关于直线对称
11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12. 曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于坐标轴对称B. 点P到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为D. 点P到y轴距离的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则__________．
14. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
15. 已知函数，则函数零点的个数是__________．
16. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
18. 2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．
（1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率．
（2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．
（i）求小博得2分的概率；
（ii）求小博得分比小智得分高的概率．
19. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．
（1）证明：平面；
（2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足．
（1）求的值；
（2）设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
22. 如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
（2）若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．
（i）求证：定值；
（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．
时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B. 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
4. 在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1
6. 抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为
A. B. C. D.
7. 已知定义在R上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为．
共中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 焦点在x轴椭圆中截得最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆和圆相交于两点，下列说法正确是（ ）．
A. 圆的圆心为，半径为1B. 直线的方程由为
C. 圆心到的距离为D. 线段的长为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递增
D. 的图象关于直线对称
11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12. 曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于坐标轴对称B. 点P到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为D. 点P到y轴距离的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则__________．
14. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
15. 已知函数，则函数零点的个数是__________．
16. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
18. 2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．
（1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率．
（2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．
（i）求小博得2分的概率；
（ii）求小博得分比小智得分高的概率．
19. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．
（1）证明：平面；
（2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足．
（1）求的值；
（2）设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
22. 如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
（2）若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．
（i）求证：定值；
（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．
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