北师大版八年级下册4 角平分线评课ppt课件

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角平分线上的点有什么性质？
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
你能证明这一结论吗？结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证： PD=PE.
证明：∵ ∠1= ∠2， OP=OP，∠PDO= ∠PEO=90°，∴ △ PDO ≌ △PEO（AAS）.∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
几何语言：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，∴ PD=PE.
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是假命题.角平分线是角内的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点.
此命题增加什么条件可变为真命题呢？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证： OP平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA， PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90°.在Rt △ PDO 和 Rt △PEO 中，∵ OP=OP，PD=PE，∴ Rt △ PDO ≌ Rt △PEO （HL）.∴ ∠1= ∠2（全等三角形的对应边相等）.∴OP平分∠AOB.
角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵ PD⊥OA， PE⊥OB，且PD=PE. ∴ 点P在∠AOB的平分线上.
例1.如图，在 △ABC 中，∠BAC=60°, 点D在BC上，AD=10， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F,且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵ ∠BAC=60°, ∴ ∠BAD=30°.在Rt △ADE中 ， ∠AED=90°, AD=10，∴DE= AD=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
例2.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证： ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
解：∵ BM是△ABC的角平分线 ，点P在BM上，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.同理PE=PF.∴ PD=PE=PF，∴点P 在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
如图，在△ABC 中，∵ BM， CN， AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，∴BM， CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF.
例3. 如图，在△ABC 中， AC=BC，∠C= 90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB, 垂足为E.（1）已知CD=4 cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD .
（1）解： AD是△ABC的角平分线， DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，∴ DE= CD=4 cm（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.∵ AC= BC，∴ ∠B= ∠BAC（等边对等角）.∵ ∠C= 90°，∴ ∠B= 45°. ∴ ∠BDE= 45°.∴ BE= DE.∴ BD= cm . ∴ AC= BC= CD+ BD=( 4+ ) cm .
（2）证明： 由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌ △ Rt△AED（HL）.∴ AC= AE （全等三角形的对应边相等）.∵ BE= DE=CD，∴ AB= AE + BE=AC+CD.
1.在△ABC 中，∠ACB=90°， BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC =3 cm，那么AE+DE等于（ ）A.2 cm B. 3 cm C.4 cm D.5 cm
2.如图，∠A=90°， BC边的垂直平分线DE分别交BC于点D，交AB于点E，且DE= AE,则∠B= .
3.如图，∠B=∠C=90°， DE平分∠ADC， AE平分∠DAB， 求证：E是BC的中点.
证明：过点E作EF⊥AD于F，∵ ∠B=∠C=90°， ∴ CD⊥BC， AB⊥BC.∵ DE平分∠ADC， AE平分∠DAB，∴ CE=EF，EF=BE. ∴ CE=BE.即E是BC的中点.
谈谈这节课你有什么收获？1.角平分线的性质和判定定理：性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.2.三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
1.教材第30页习题1.9第1，2 题.2.教材第32页习题1.10第2，3 ，4题.