重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.
【详解】直线即，
可知直线的斜率，倾斜角为.
故选：D.
2. 椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴相等B. 短轴相等
C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.
【详解】因为中的，
所以，焦距为；
因为中的，
所以，焦距为；
故选：C.
3. 已知直线，，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,，，，
所以．
故选：C．
4. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A. 6.2小时B. 6.4小时C. 6.5小时D. 7小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可得这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是：
（小时），
故选：B
5. 已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解.
【详解】因为整理得，
表示以为圆心，半径的上半圆，
设，则，如图所示：
当三点共线时，取到最小值，
当为半圆的右端点时，取到最大值，
即，则，
所以的取值范围是.
故选：C.
6. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由距离公式结合勾股定理得出，进而由面积公式得出四边形MAPB的面积最小值.
【详解】圆M：的圆心到直线l：的距离，
故的最小值是3，又因为，则，
故的面积的最小值是，故四边形MAPB的面积的最小值是.
故选：D.
7. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先算出样本空间包含的样本点数，再求出两人“心心相印”的包含的样本点数，相比即可求出概率.
【详解】样本空间包含样本点数为，
m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”
当时，当时，
当时，当时，
则小红、小明两人“心心相印”事件包含了个样本点，
两人“心心相印”的概率是，
故选：D
8. 如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（ ）
A. －5B. －6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系得到，设出，得到，作出辅助线，得到四点共圆，由几何关系求出圆的方程，从而求出相交弦方程，得到的面积，配方得到其最值，得到方程，得到答案.
【详解】直线l：与圆O：相离，
故，解得，
设，
点P在直线l上运动且位于第一象限，故，
连接，则⊥，⊥，
则四点共圆，且为直径，
其中圆心为，半径为，
故所在圆的方程为，
化简得，
与相减得到直线MN的方程，
即，
令得，令得，
因为，所以，故，，
故的面积为，
因为，所以当时，的面积取得最大值，最大值为，
故，解得，经检验，均满足要求.
故选：D
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 样本的众数为65
B. 该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C. 样本的第80百分位数为72.5
D. 样本的平均值为66.75
【答案】BCD
【解析】
【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断
【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，
对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为，故B正确，
对于C，体重位于的频率为，
体重位于的频率为，
故第80百分位数位于，设其为，则，得，故C正确，
对于D，样本的平均值为，故D正确，
故选：BCD
10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B相互独立，则
B. 若，则事件与B相互独立
C. 若A与B互斥，则
D. 若B发生时A一定发生，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用并事件的概率公式可判断选项，利用独立事件的定义可判断选项；；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知，可判断出D选项
【详解】对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A对；
对于B，因为，，则，
因为，所以事件与B相互独立， 故B对；
对于C，若A与B互斥，则，故C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D错.
故选：AB.
11. 已知的顶点P在圆C：上，顶点A、B在圆O：上．若，则（ ）
A. 的面积的最大值为
B. 直线PA被圆C截得的弦长的最小值为
C. 有且仅有一个点P，使得为
D. 有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线
【答案】AD
【解析】
【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，若，分析的外接圆与圆C的交点个数，判断C，利用射影定理可得进而判断D.
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径为9，
圆O：的圆心，半径为2，
因为，可知圆O在圆C内，
设线段的中点为，
因为，则，且，

对于选项A：设点到直线的距离为，
则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，
所以的面积的最大值为，故A正确；
对于选项B：点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，
且的最大值为7，
所以点到直线的距离的最大值为7，
此时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
对于选项C：设的外接圆的圆心为，半径为，
若，则，，
可知，
因为P在圆C上，，当且仅当四点共线时成立，
且，可知此时圆与圆C相交，
此时有2个点，使得，故C错误；
对于选项D，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，
当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；
故选：AD.
12. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A. 对任意三点，都有；
B. 已知点和直线，则；
C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；
对于选项B，设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
对于选项D，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】A选项，设，由题意可得：
同理可得：，则：
，
则对任意的三点，，，都有；故A正确；
B选项，设点是直线上一点，且，
可得，
由，解得或，即有，当时，取得最小值；
由，解得，即有，的范围是，无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误；
C选项，设，则，
若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或
若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或，
故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；
D选项，定点、，动点满足（），则：，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当时，有，得：；
(2)当时，有，此时无解；
(3)当时，有；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.
故选：AD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13. 已知椭圆方程为，则该椭圆离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程及几何性质、离心率公式运算即可得解.
【详解】由椭圆的标准方程及几何性质知，
∵，
∴，，则，
∴，，则离心率.
故答案为：.
14. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率，
可得，解得，所以椭圆的方程为，则，
设，则，
因为，当时，可得取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
15. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是______．
【答案】84
【解析】
【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.
【详解】先考虑五个音阶任意排列，有种情况，
再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，
把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况，
而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况，
所以一共的音序有种，
故答案为：84
16. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：，设为平面上的点，若满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标是______________ .
【答案】或.
【解析】
【分析】设出过点的直线和的方程，根据圆和圆的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，可得的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，故可得到一个关于直线斜率的方程，即可求出所有满足条件的点的坐标.
【详解】圆：的圆心为，半径为3，圆：的圆心为，半径为3，
设点满足条件，
因为过点的无穷多对互相垂直的直线和，
所以不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
因为圆和圆的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
所以的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
因为的取值有无穷多个，
所以或，
解得或，
所以所有满足条件的点的坐标为或，
故答案为：或.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在这样的点P为
【解析】
【分析】（1）通过焦点可得，椭圆过点，可得，解方程组即可求得椭圆方程；
（2）假设存在点，使得的面积为，可构建方程关于的方程，再代入椭圆，求得，则可判定是否存在这样的点.
【小问1详解】
因为两个焦点分别为，
所以，即，
因椭圆过点，所以，
又，解得（负值舍去），
所以椭圆C的标准方程
【小问2详解】
假设存在点，使得的面积为，
则又，
所以解得，
代入椭圆可得，解得,
此时点的坐标为
所以存在点P为时，使得的面积为.
18. 已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【小问1详解】
依题意，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若所求直线的斜率存在，设斜率为，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，即.
综上，切线方程为或.
19. 已知直线l：，点．
（1）若点P到直线l距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程；
（2）当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线所过定点，当时最大，且，据此求直线方程；
（2）求关于直线l的对称点，根据在反射直线上求解即可.
【小问1详解】
因为直线l：可得，
所以由解得，即直线过定点，
所以到直线l的距离，
此时，即，
所以直线l的方程为，即.
【小问2详解】
时，直线l：，
设关于直线l：的对称点，
则，解得，，
即，又在反射直线上且反射直线过原点，
所以反射直线的斜率为，
故反射直线的方程为，即.
20. 为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
（1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
（2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；
（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.
【小问1详解】
设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，
则，，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
【小问2详解】
设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，
，，
，，
21. 某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.
利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.
（1）当漏判率为时，求临界值c；
（2）令函数，当时，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出；
（2）根据题意得出的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
依题可知，漏判率为，
右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为，
因为，所以，所以，解得；
【小问2详解】
当时，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以在区间的最小值为.
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据列式，再化简即可；
（2）设的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列出直线，的方程，求得Q点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可.
【小问1详解】
设动点坐标，
因为动点P满足，且，，
所以，
化简可得，，即，
所以点P的轨迹方程为.
【小问2详解】
曲线C：中，令，可得，
解得或，可知,
当直线为斜率为0时，即为直径，长度为8，
当直线斜率不为0时，
设的直线方程为，
联立消去可得：，
化简可得；
由韦达定理可得，
因为，
所以，的斜率为，
又点在曲线C上，所以,
可得，
所以，
所以，的方程为，，
令可得，
化简可得；，
又在直线上，可得，，
所以，
化简可得；，
又，
代入可得，
化简可得，
，
，所以或，
当时为，必过，不合题意，
当时为，必过，
又即为圆的弦长，
所以当直径时弦长最小，
此时半径圆心到直线的距离为
综上，的最小值.
点睛】方法点睛：求必过点可用联立方程，设而不求，算出参数关系.
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5