山东省日照市经开实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省日照市经开实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
3．（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．（3分）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90B．60C．50D．40
5．（3分）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．2＜x＜12D．1＜x＜6
6．（3分）如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（3分）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
8．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C．D．
9．（3分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（ ）
A．AD＝BEB．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC
10．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝4，BC＝3，DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
11．（3分）已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．D．
12．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．14
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知点P（a，b）的坐标满足（a+2）2+|b﹣1|＝0，则点P关于y轴对称为点P′在第 象限．
14．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13．点P是线段AB上的一个动点，则CP的最小值为 ．
15．（4分）△ABC中，∠B＝40°，∠C＝75°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ °．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）当t为 秒时，△ABD的面积为12cm2；
（2）当t为 秒时，△ABD≌△ACE．
三、解答题（共68分）
17．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
18．（10分）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
19．（10分）如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD＝DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
20．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）判断△DBF的形状，并说明理由．
（2）求证：AD⊥CF；
21．（12分）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
22．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
2023-2024学年山东省日照市经开实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和对称轴的概念求解．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有3条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的性质与判定即可作答．
【解答】解：A、全等三角形的对应边相等，对应角相等，说法正确，故本选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，对应角相等，说法正确，故本选项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，故本选项符合题意；
D、三边分别相等的两个三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等．也考查了全等三角形的判定．
3．（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360°，
∴内角和是360°，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
4．（3分）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90B．60C．50D．40
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
5．（3分）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜7C．2＜x＜12D．1＜x＜6
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：如图所示，AB＝5，AC＝7，
设BC＝2a，AD＝x，
延长AD至E，使AD＝DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE＝2x，BE＝AC＝7，
在△ABE中，
∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，在有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
6．（3分）如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】在AC上截取CE＝CB，连接DE，利用已知条件求证△CBD≌△CED，然后可得BD＝ED，∠B＝∠CED，再利用三角形外角的性质求证CE＝DE，然后问题可解．
【解答】解：如图，在AC上截取CE＝CB，连接DE，
∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，
∴∠BCD＝∠ECD．
在△CBD与△CED中，
．
∴△CBD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED，∠B＝∠CED，
∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠CED＝2∠A，
∴∠A＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∴AE＝BD，
∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是在AC上截取CE＝CB，连接DE，利用已知条件求证△CBD≌△CED，此题难易程度适中，适合学生的训练．
7．（3分）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【解答】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
8．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C．D．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
9．（3分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（ ）
A．AD＝BEB．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC
【分析】A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
B、根据等边三角形性质得出AB＝BC，只有F为AC中点时，才能推出AC⊥BE．
C、由△ACG≌△BCF，推出CG＝CF，根据∠ACG＝60°即可证明；
D、根据等边三角形性质得出∠CFG＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ACD与△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，正确，故本选项错误；
B、根据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项正确；
C、△CFG是等边三角形，理由如下：
∵∠ACG＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BCA，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
在△ACG和△BCF中
∵，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF，
又∵∠ACG＝60°
∴△CGF是等边三角形，正确，故本选项错误；
D、∵△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝60°＝∠ACB，
∴FG∥BC，正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
10．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝4，BC＝3，DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16B．20C．24D．26
【分析】将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；
【解答】解：如图，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AEF，
则AF＝AC，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，
∴∠DEF＝180°，
即点D，E，F三点共线，
∵，
∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠EAF，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴S△ACD＝S△AFD＝S△AED+S△ABC＝，
∴S五边形ABCDE＝2S△ACD＝20；
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（3分）已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．D．
【分析】由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，可得OC＝OD＝CD＝OP，即可得出结果．
【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是3cm，
∴PM+PN+MN＝3cm，
∴DM+CN+MN＝3cm，
即CD＝3cm＝OP，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△COD等边三角形是解决问题的关键．
12．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．14
【分析】设AB交CD于O，连接BD，证明△ECA≌△DCB（SAS），得出∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．求出△ABC的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题
【解答】解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
如图所示：
∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，
∵∠EDC＝45°，
∴∠CDB＝∠EDC，
∵AE：AD＝1：2，
∴BD：AD＝1：2，
在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵＝＝＝＝2，
∴S△AOC＝18×＝12；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知点P（a，b）的坐标满足（a+2）2+|b﹣1|＝0，则点P关于y轴对称为点P′在第 一 象限．
【分析】首先根据非负数的性质可得a+2＝0，b﹣1＝0，再解可得a＝﹣2，b＝1，进而可得P点坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点可得P′的坐标，进而可得答案．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
∴P（﹣2，1），
∴点P关于y轴对称点P′（2，1），在第一象限，
故答案为：一．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
14．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13．点P是线段AB上的一个动点，则CP的最小值为 ．
【分析】当CP⊥AB时，CP的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•CP＝•AC•BC，
∴13CP＝5×12，
∴PC＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
15．（4分）△ABC中，∠B＝40°，∠C＝75°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ 265 °．
【分析】由折叠可得∠B'＝∠B＝40°，∠C'FG＝∠CFG，∠C'GF＝∠CGF，利用三角形的外角性质与内角和可求得∠3的度数，∠1+∠2的度数，从而可求解．
【解答】解：如图，
由折叠可得：∠B'＝∠B＝40°，∠C'FG＝∠CFG，∠C'GF＝∠CGF，
∵∠ADB'＝35°，
∴∠BME＝∠B'+∠ADB'＝75°，
∴∠3＝∠BME+∠B＝115°，
∵∠CFG＝（180°﹣∠1），∠CGF＝（180°﹣∠2），
∴∠CFG+∠CGF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°﹣（∠1+∠2），
∵∠CFG+∠CGF＝180°﹣∠C＝105°，
∴180°﹣（∠1+∠2）＝105°，
解得：∠1+∠2＝150°，
∴∠1+∠2+∠3＝115°+150°＝265°．
故答案为：265．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
16．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）当t为 或 秒时，△ABD的面积为12cm2；
（2）当t为 2或4 秒时，△ABD≌△ACE．
【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（2）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD＝CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【解答】解：（1）∵，
∴AH×BD＝24，
∴BD＝6．
若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，
∴；
若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，
∴；
综上所述：当t为秒或秒时，△ABD的面积为12cm2；
故答案为：或；
（2）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD＝CE．如图所示，
∵CE＝t，BD＝8﹣3t，
∴t＝8﹣3t，
∴t＝2，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD＝CE．如图，
∵CE＝t，BD＝3t﹣8，
∴t＝3t﹣8，
∴t＝4，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
综上可知，当t＝2或t＝4时△ABD≌△ACE．
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．
三、解答题（共68分）
17．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
【点评】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
18．（10分）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长；
（2）利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE．
【解答】解：（1）∵AD为边BC上的中线，
∴S△ADC＝S△ABC＝15，
∵AE为边BC上的高，
∴，
∴CD＝5．
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝39°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝39°+36°＝75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝15°
【点评】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几种知识点的熟练应用是解决此题的关键．
19．（10分）如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD＝DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD＝AE，AD＝CE，代入求出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E＝∠BDA＝90°，推出∠BDE＝90°，根据平行线的判定求出即可．
【解答】（1）解：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
（2）解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°），
∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E，
∴BD∥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好．
20．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）判断△DBF的形状，并说明理由．
（2）求证：AD⊥CF；
【分析】（1）先证出CD＝DB，BF＝DB，得出BF＝CD，再证出∠CBF＝∠ACD，由BC＝AC，即可证出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS），进而得出DB＝BF，∠CBF＝90°，进而得出△DBF是等腰直角三角形即可；
（2）由Rt△CBF≌Rt△ACD得出∠BCF＝∠CAD，从而证出∠AGC＝90°，得出AD⊥CF．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝CB，∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，∠BDE＝45°，
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDE＝45°，∠BFD＝∠ACD＝90°，
∴BF＝DB，
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB，
∴BF＝CD，
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS），
∴DB＝BF，∠CBF＝∠ACB＝90°，
∴△DBF是等腰直角三角形；
（2）证明：由（1）得△CBF≌△ACD，
∴∠BCF＝∠CAD，
∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°，即∠AGC＝90°，
∴AD⊥CF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．
21．（12分）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD＝80°、∠CHE＝90°，进而得到∠ECH＝40°，然后根据∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴，
即，解得EM＝3，
∵AB＝10，
∴．
【点评】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
22．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【分析】（1）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，推导出∠ABD＝∠CAE，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABD≌△CAE；
（2）当α为钝角时，由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，推导出∠ABD＝∠CAE，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABD≌△CAE；当α为锐角时，用同样的方法可证明△ABD≌△CAE；
（3）先由△ABF和△ACF均为等边三角形，得AB＝AF，CA＝AF＝CF，∠BAF＝∠ACF＝∠AFC＝60°，则AB＝CA，而∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，由（2）得△ABD≌△CAE，则AD＝CE，∠DAB＝∠ECA，可推导出∠DAF＝∠ECF，即可证明△DAF≌和△ECF，得DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，则∠DFE＝∠AFC＝60°，即可证明△DEF是等边三角形．
【解答】（1）证明：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE＝90°﹣∠BAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
（2）解：△ABD≌△CAE成立，
证明：当α为钝角时，如图2，
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ABD＝180°﹣α﹣∠BAD，∠CAE＝180°﹣α﹣∠BAD，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
当α为锐角时，如图2（2），
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ABD＝180°﹣α﹣∠BAD，∠CAE＝180°﹣α﹣∠BAD，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
（3）证明：如图3，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴AB＝AF，CA＝AF＝CF，∠BAF＝∠ACF＝∠AFC＝60°，
∴AB＝CA，
由（2）得△ABD≌△CAE，
∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECA，
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠BAF+∠DAB＝∠ACF+∠ECA，
∴∠DAF＝∠ECF，
在△DAF和△ECF中，
，
∴△DAF≌和△ECF（SAS），
∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠CFE+∠AFE＝∠AFC＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．