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    山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

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    山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

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    这是一份山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题,共8页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    第Ⅰ卷(共60分)
    一、选择题(本大共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1. 椭圆的焦点坐标为
    A.,B.,
    C.,D.,
    2. 已知直线过点,且与直线平行,则的方程是
    A.B.C.D.
    3. 点关于直线的对称点的坐标为
    A. B. C. D.
    4. 若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是
    A. ,,B. ,,
    C. ,,D. ,,
    5. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,则椭圆的面积为
    A. 30B. 120C. D.
    6. 已知直线:与圆:,则上各点到距离的最小值为
    A. B. C. D.
    7. 已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为
    A. 13B. 12C. 6D. 9
    8. 若实数满足,则的最大值为
    A B. C. D. 2
    二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    9. 直线对应的图像不可能是
    A.B.
    C.D.
    10. 已知,则下述正确是
    A. 圆C的半径B. 点在圆C的内部
    C 直线与圆C相切D. 圆与圆C相交
    11. 已知空间中三点,,,则下列说法正确的是
    A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
    C. 和夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
    12. 在棱长为2的正方体中,E、F、G分别为BC、、的中点,则下列选项正确的是
    A.
    B. 直线与EF所成角的余弦值为
    C. 三棱锥的体积为
    D. 存在实数、使得
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 若直线与互相垂直,则m=______________
    14. 已知点,,则以线段为直径的圆的标准方程是___________.
    15. 直线恒过定点______________
    16. 已知直线y=k(x+2)与曲线有两个不同的公共点,则k的取值范围是 ______________
    四、解答题(共70分)
    17.(10分) 已知△ABC的三个顶点分别为.
    (1)求边上的高所在直线的方程(化为一般式);
    (2)求△ABC的面积.
    18.(12分)如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为,BD的中点,点G在CD上,且.
    (1)求证:;
    (2)求EF与CG所成角的余弦值.
    19. (12分) 已知圆经过点和,且圆心在直线上.
    (1)求圆的方程;
    (2)过点作圆的切线,求切线方程.
    20. (12分) 已知圆,圆.
    (1)若圆与圆外切,求实数的值;
    (2)设时,圆与圆相交于两点,求弦AB的长.
    21. (12分)如图,四边形是正方形,平面,F为PD的中点.
    (1)求证:BD//平面;
    (2)求面与面夹角的大小.
    22. (12分) 已知椭圆的左,右焦点分别为且经过点.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A,B两点,求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)
    2022级高二年级第一学期期中自我测试
    数学试题参考答案
    一、ADAD CCDB
    二、9.CD 10.ACD 11.BD 12.BD
    三、13.6 14. (x+1)2+(y-1)2=25 15. (-1,-2) 16. 或
    四、17、【详解】(1)直线的斜率为,因此边上的高所在直线的斜率为,
    所以边上的高所在直线的方程为:.即2x-y+3=0
    (2)直线的方程为,即,
    于是点到直线的距离为:,而,
    所以的面积.
    18. (1)建立以D点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,
    则,,
    所以,即,
    所以.
    (2)由(1)知,,,
    则,
    因为EF与CG所成角的范围为,所以其夹角余弦值为.
    19. 【小问1详解】
    圆心在直线上,可设圆心,
    ,解得:,则圆心,
    圆的半径,
    圆的方程为;
    【小问2详解】
    当切线的斜率存在时,设过点的切线方程为,即,
    圆心到直线的距离,解得:,
    切线方程为,即;
    当直线斜率不存在时,直线方程为:,圆心到直线的距离是,是圆的切线;
    综上所述:过点的圆的切线方程为和.
    20.答案:(1)
    (2)
    解:(1)圆,即,所以,
    圆,所以,
    因为两圆外切,所以,得,
    化简得,所以.
    (2)时,圆,即,
    将圆与圆的方程联立,得到方程组
    两式相减得公共弦的方程为:.
    21.(1)依题意,平面,如图,以A为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,可得,,,,,,
    取的中点M,连接.∵,,
    ∴,∴,
    ∵平面平面,∴平面.
    (2)因为,所以平面,
    故为平面的一个法向量,
    设平面的法向量为,因为,
    所以即,令,得,,
    故.
    设面与面夹角为,则,
    所以面与面夹角是
    22.【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据椭圆的定义可得,进而可求其方程,
    (2)根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积,结合不等式即可求解最大值.
    【小问1详解】
    由椭圆的定义,
    可知
    解得,又.
    椭圆C的标准方程为.
    【小问2详解】
    设直线l的方程为,
    联立椭圆方程,得,
    ,得
    设,则,

    点到直线的距离,
    .
    当且仅当,即时取等号;
    面积最大值为.

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