高考数学二轮专题复习——数列求和十大题型汇总（原卷及解析版）

这是一份高考数学二轮专题复习——数列求和十大题型汇总（原卷及解析版），文件包含数列求和十大题型汇总原卷版docx、数列求和十大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共100页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc148027026" 题型1倒序相加法 PAGEREF _Tc148027026 \h 1
\l "_Tc148027027" 题型2分组求和法 PAGEREF _Tc148027027 \h 8
\l "_Tc148027028" 题型3分奇偶型的分组求和法 PAGEREF _Tc148027028 \h 15
\l "_Tc148027029" 题型4等差型裂项相消法 PAGEREF _Tc148027029 \h 24
\l "_Tc148027030" 题型5分子不是1型裂项相消 PAGEREF _Tc148027030 \h 31
\l "_Tc148027031" 题型6指数型裂项相消 PAGEREF _Tc148027031 \h 36
\l "_Tc148027032" 题型7“和”型裂项相消 PAGEREF _Tc148027032 \h 44
\l "_Tc148027033" 题型8无理型裂项相消 PAGEREF _Tc148027033 \h 51
\l "_Tc148027034" 题型9错位相减法 PAGEREF _Tc148027034 \h 54
\l "_Tc148027035" 题型10含有（-1）n并项求和法 PAGEREF _Tc148027035 \h 61
题型1倒序相加法
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=39x+3．
(1)求证：函数fx的图象关于点12,12对称；
(2)求S=f−2022+f−2021+⋯+f0+⋯+f2022+f2023的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)S=2023
【分析】（1）证明fx图象关于点12,12对称，转化为证明关系式fx+f1−x=1；
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
【详解】（1）因为fx=39x+3，所以f1−x=391−x+3=3⋅9x9+3⋅9x=9x9x+3，
所以fx+f1−x=1，即函数fx的图象关于点12,12对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为S=f−2022+f−2021+⋯ +f0+f(1)+⋯+f2022+f2023，
所以S=f2023+f2022+⋯+f1+f(0)+⋯+f−2021+ f−2022（倒序），
又由（1）得fx+f1−x=1，
所以2S=4046，所以S=2023.
【变式1-1】1. （2023秋·河北·高三校联考期末）已知数列an各项都不为0，a1=2，a2=4，an的前n项和为Sn，且满足anan+1=4Sn.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+⋅⋅⋅+an−1Cnn−1+anCnn，求数列bn+2n+1bnbn+1的前n项和Tn.
【答案】(1)an=2n，n∈N∗；
(2)Tn=12−1n+1⋅2n+1
【分析】（1）利用Sn与an的关系，得到an+1−an−1=4，再利用隔项等差数列的性质，分别求出n为奇数与n为偶数时的通项an，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得bn=n⋅2n，整理得bn+2n+1bnbn+1=1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1，进而利用裂项求和法，得到Tn
【详解】（1）n≥2时，anan+1=4Sn，an−1an=4Sn−1，两式相减，可得an(an+1−an−1)=4an，由题意得an≠0，可得an+1−an−1=4，则有
当n为奇数时，a1,a3,a5,⋯,an为等差数列，an=a1+4⋅(n+12−1)=2n，
当n为偶数时，a2,a4,a6,⋯,an为等差数列，an=a2+4⋅(n2−1)=2n，
∴ an=2n(n∈N∗)
（2）bn=a1Cn1+a2Cn2+⋅⋅⋅+an−1Cnn−1+anCnn，
bn=anCnn+an−1Cnn−1+⋯+a2Cn2+a1Cn1，利用倒序相加，可得
2bn=(a1+an−1)(Cn1+Cn2+⋯+Cnn)+2anCnn =2n(2n−2)+4n=2n⋅2n，
解得bn=n⋅2n，
∴bn+2n+1bnbn+1=n⋅2n+2n+1n⋅2n⋅(n+1)⋅2n+1=1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1，
∴Tn=11×2−12×22+12×22−13×23+⋯+1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1 =12−1n+1⋅2n+1
【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知Ax1,y2、Bx2,y2是函数fx=2x1−2x,x≠12−1,x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．
(1)求x1+x2的值及y1+y2的值；
(2)已知S1=0，当n≥2时，Sn=f12+f2n+f3n+⋅⋅⋅+fn−1n，设an=2Sn，Tn数列an的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm−cTm+1−c