深圳中学2023-2024学年度第一学期高二期中考试试题及参考答案

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1．C
【分析】由等差数列的性质得到，从而求出公差，得到答案.
【详解】由等差数列的性质可知，
又，故，
设等差数列的公差为，则，
所以.
故选：C
2．B
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】是等比数列，
依题意，，所以.
故选：B
3．D
【分析】根据两直线垂直需满足的条件建立关于的方程求解即可.
【详解】直线和相互垂直，
则，解得.
故选：D.
4．B
【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，
则，故椭圆方程为.
故选：B.
5．C
【分析】利用等比中项的性质求出的值，求出等比数列的公比，进而求出的值，再利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，且对任意的，，
由可得，解得，
因为，则，所以，，
因此，的前项和为.
故选：C.
6．B
【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以的面积为.
故选：B
7. A
【分析】利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以
解得因为所以
两边平方得：又因为
整理得：
因为不等式两边同时除以，得：；
解得：
故选：A
8．A
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设Px,y，PB≥b⇒x2+y-b2≥b⇒x2+y2-2by≥0*，
由x2a2-y2b2=1⇒x2=a21+y2b2，代入不等式*中，
化简，得c2b2y2-2by+a2≥0恒成立，
则有Δ=4b2-4a2c2b2≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2-a2≤ac⇒e2-e-1≤0，
解得1-52≤e≤1+52，而e>1，所以10,x1+x2=-2a2k2cb2-a2k2,x1x2=-a2k2c2+b2b2-a2k2，
则AB=1+k2-2a2k2cb2-a2k22-4-a2k2c2+b2b2-a2k2=2ab21+k2b2-a2k2，
设线段AB的中点Mx0,y0，则x0=x1+x22=-a2k2cb2-a2k2,y0=kx0-c=k-a2k2cb2-a2k2-c=-b2kcb2-a2k2，
即M-a2k2cb2-a2k2,-b2kcb2-a2k2，
且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为-1k，
则线段AB的中垂线所在直线方程为y+b2kcb2-a2k2=-1kx+a2k2cb2-a2k2，
令y=0，则b2kcb2-a2k2=-1kx+a2k2cb2-a2k2，解得x=-k2c3b2-a2k2，
即D-k2c3b2-a2k2,0，则DF=-k2c3b2-a2k2-c=b2c1+k2b2-a2k2，
由题意可得：AB≥2DF，即2ab21+k2b2-a2k2≥2b2c1+k2b2-a2k2，
整理得2a≥2c，则e=ca≤22=2，
注意到双曲线的离心率e>1，
∴双曲线的离心率取值范围是1,2.
故选：BC.
【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值（或范围）．
12．ABD
【分析】根据递推公式求出即可判断A；观察数列的奇偶特点即可判断B；根据递推公式，结合累加法即可判断C；根据递推公式可得，结合累加法计算即可判断D.
【详解】对于A，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故 故A正确；
对于B：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故B正确；
对于C：因为，
相加可得：，故C错误；
对于D：因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，，
其中
累加得，
，
故：，故D正确.
故答案为：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，直接计算可判断AB，利用累加法即可判断CD.
13．99
【分析】利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
故答案为：
14．
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，
圆心到直线的距离，弦长的一半为1，，
故答案为：
15．66,55
【分析】由AF1⋅AF2=4c2易知A点在以0,0为圆心，半径为5c的圆上，即可得圆x12+y12=5c2与椭圆x2a2+y2b2=1有交点，需满足b≤5c≤a，可得离心率e∈66,55
【详解】由AF1⋅AF2=4c2可得-c-x1,-y1⋅c-x1,-y1=x12-c2+y12=4c2，
可得x12+y12=5c2，即A点在以0,0为圆心，半径为5c的圆上；
又A点在椭圆上，即可得圆x12+y12=5c2与椭圆x2a2+y2b2=1有交点，
根据对称性可知b≤5c≤a，即5c2≤a2≤6c2，所以可得离心率e∈66,55
16．(-23,0)
已知椭圆方程：x24+y23=1
已知 A-2,0, B2,0,k1=2k2, 则 lAC:y=k1x+2, lBD:y=k2x-2. 设 CxC, yC, DxD, yD.
联立椭圆方程与 lAC:3+4k12x2+16k12x+-12+16k12=0
得 xA+xC=-16k123+4k12，∴xC=-16k123+4k12-xA=-16k123+4k12--2=6-8k123+4k12
因为 k1=2k2，∴xC=6-8k123+4k12=6-32k223+16k22，∴ C(6-32k223+16k22,24k23+16k22)
联立椭圆方程与 lBD:3+4k22x2-16k22x+-12+16k22=0
得 xB+xD=16k223+4k22，∴xD=16k223+4k22-xB=16k223+4k22-2=-6+8k223+4k22 ∴ D(-6+8k223+4k22,-12k23+4k22)
由 C6-32k223+16k22,24k23+16k22, D-6+8k223+4k22,-12k23+4k22 得，lCD:9k2x+8k22-3y+6k2=0
即 8k22y+9x+6k2-3y=0 过定点 -23,0.
17. （1）PQ=6105
（2）x+2y-1=0 或 2x-y-2=0
【详解】
（1）已知圆 C1 的圆心为 C1(-1,0), 半径为 r1=2
已知圆 C2 的圆心为 C2(0,3), 半径为 r2=10
所以公共弦对应的直线方程为：x+3y-1=0
圆心 C1 到x+3y-1=0 的距离为 d1=105
所以 PQ=2r12-d12=6105
（2）M1,0, C2(0,3), 当 ∆MNC2 的面积最大时，NC2⊥MC2
所以 N-3,2 或 N3,4，所以 MN方程：x+2y-1=0 或 2x-y-2=0
18．（1） ; （2）
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题设条件列方程组求出 的值，从而求出数列，的通项公式；
（2）根据数列数列的通项构成特点，可由错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：
解得或（舍去）,d=2．
∴ 数列的通项公式是
数列的通项公式是， .
（2）
∴，
19. （1）(x-2)2+y2=9; （2）(-∞,-73)∪(73,+∞);（3）a=1
【详解】
（1）设圆心为 M x0,0, 且 x0 是整数. 则点 x0,0 到直线 4x-3y+7=0 的距离为3.
得 |4x0+7|42+(-3)2=3，所以 x0=2.
轨迹方程：(x-2)2+y2=9
（2）联立轨迹方程与直线方程，(x-2)2+y2=9 与 ax-y+4-2a=0
因为直线与圆有两个交点，所以 ∆>0, 得 a∈(-∞,-73)∪(73,+∞)
（3）设 l 的方程为 y=-1ax-3-1
由于直线 l 垂直平分弦AB，故圆心 M 2,0 必在 l 上，所以 a=1.
20．(1)
(2)存在，过定点
【分析】（1）由题意得，则动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，可得，即可得出结果；
（2）设直线为，代入，并整理得，设，由题知，即，结合韦达定理求得，代入直线方程即可得出答案.
【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径，
设动圆的半径为，

动圆与圆内切，与圆外切，，
，且，
动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
，
动圆圆心的轨迹方程E为：.
（2）设直线为，
把代入，并整理得，
，即，
设，则，
，所以
，
所以，
，，，
，
，即，解得或，
当时，直线为，过，不合题意，舍去；
当时，直线为，过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．（1）
（2）存在，符合题意，理由见解析．
（3） -4n24n+9
【分析】（1）根据题意求，进而可求，即可得结果；
（2）根据求，即可得，根据题意结合等差中项分析运算.
【详解】（1）由，
令，得，即，
设等差数列的公差为，
∵，解得，
∴，，
即，可得．
（2）存在，理由如下：
由（1）可得：，
当时，则，
可得；
当时，也满足上式，所以．
故，
要使成立，即，解得，
此时，，，满足：，
即为，的等差中项，
∴存在符合题意．
（3） dn=2an+7=22n-4+7=4n-1
裂项： en=-1n( dn+2) dndn+1=-1n(4n+1)(4n-1)(4n+3)=-1n2(14n-1+14n+3)
求和： Y2n=12-13+17+17+111-111+115+…+18n-1+18n+3=12-13+18n+3=-4n24n+9
22．(1)
(2)．
【分析】（1）由题知，代入椭圆求得即可；
（2）设，求得坐标代入椭圆方程求出，代入计算求最值即可.
【详解】（1）由题知，代入椭圆得，
∴，，
∴椭圆的方程为；
（2）
设，
设，由得，
解得，
则，
代入椭圆的方程得，
即，
即，
即，
即，
即，
∴，同理可得，
，
由题知，∴，
当即为短轴端点时取得最大值．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域.