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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品练习

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品练习,文件包含人教A版高中数学必修第一册同步讲义第26讲44对数函数原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册同步讲义第26讲44对数函数含解析doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共51页, 欢迎下载使用。


    知识点01:对数函数的概念
    1、对数函数的概念
    一般地,函数 SKIPIF 1 < 0 叫做对数函数,其中指数 SKIPIF 1 < 0 是自变量,定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
    判断一个函数是对数函数的依据
    (1)形如 SKIPIF 1 < 0 ;(2)底数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ;(3)真数是 SKIPIF 1 < 0 ,而不是 SKIPIF 1 < 0 的函数;(4)定义域 SKIPIF 1 < 0 .例如: SKIPIF 1 < 0 是对数函数,而 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数,可称为对数型函数.
    【即学即练1】(2022·高一课时练习)判断正误
    (1)对数函数的定义域为R.( )
    (2) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数.( )
    (3)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )
    【答案】 错误 正确 正确
    【详解】(1)对数函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )中,自变量 SKIPIF 1 < 0 ,故该结论错误.
    (2) SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,与对数函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的定义域不同,不符合对数函数的定义; SKIPIF 1 < 0 中底数不是常数,真数不是自变量,不符合对数函数的定义,故该结论正确.
    (3)对数函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )中,自变量 SKIPIF 1 < 0 ,所以对数函数的图象一定在y轴右侧,故该结论正确.
    2、两种特殊的对数函数
    特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 ;称以无理数 SKIPIF 1 < 0 为底的对数函数为自然对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 .
    知识点02:对数函数的图象及其性质
    函数 SKIPIF 1 < 0 的图象和性质如下表:
    【即学即练2】(2022·全国·高三专题练习)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,即函数图象恒过 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A
    题型01判断函数是否为对数函数
    【典例1】(多选)(2023秋·贵州遵义·高一统考期末)(多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】AB
    【详解】根据对数函数的定义知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是对数函数,故AB正确;
    而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不符合对数函数的定义,故CD错误.
    故选:AB
    【典例2】(2023·全国·高一假期作业)若函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】由题可知:函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数
    所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0
    故选:B
    【变式1】(2023·全国·高一假期作业)下列函数为对数函数的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ) B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】AC
    【详解】形如 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 )的函数为对数函数,
    对于A,由 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,故A符合题意;
    对于B,不符合题意;
    对于C,符合题意;
    对于D,不符合题意;
    故选:AC.
    【变式2】(2023·全国·高一假期作业)下列函数是对数函数的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )为对数函数,
    所以ABC均为对数型复合函数,而D是底数为自然常数的对数函数.
    故选:D.
    题型02求对数函数解析式
    【典例1】(2023·高一课时练习)若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ,则此函数的表达式为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】设对数函数为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因为对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    【典例2】(2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式;
    (2)解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)因为函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)因为 SKIPIF 1 < 0 单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    即不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 .
    【变式1】(2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末)若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】设对数函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ),因为函数图象过点 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    【变式2】(2023春·陕西西安·高一校考开学考试)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ),且函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 成立,求实数m的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    故实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
    题型03对数(对数型复合函数)函数定义域
    【典例1】(2023春·山东潍坊·高二校联考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是( ).
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【详解】由题知, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C
    【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知x满足式子 SKIPIF 1 < 0 ,求x.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    【详解】因为x满足式子 SKIPIF 1 < 0 .
    故 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    【变式1】(2023春·重庆·高二校联考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    【变式2】(2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】由函数解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    所以函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    题型04对数函数(对数型复合函数)图象问题
    【典例1】(2023·全国·高一假期作业)如图(1)(2)(3)(4)中,不属于函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的一个是( )
    A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)
    【答案】B
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 (3)是 SKIPIF 1 < 0 ,(4)是 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称,
    SKIPIF 1 < 0 (1)是 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    【典例2】(2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中)若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
    又函数 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,图象关于y轴对称,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的大致图象应为选项A.
    故选:A.
    【典例3】(2023·全国·高三专题练习)函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】由于函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象左移一个单位而得到,函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ,
    故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ,即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的公共点是 SKIPIF 1 < 0 ,显然四个选项只有A选项满足.
    故选:A.
    【变式1】(2023·全国·高一假期作业)当 SKIPIF 1 < 0 时,在同一坐标系中,函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于1的指数函数,是增函数,函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于0、小于1的对数函数,是减函数,
    故选:C.
    【变式2】(2023·全国·高三专题练习)函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是( )
    A.B.C.
    D.
    【答案】A
    【详解】解:因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    故符合条件的只有A;
    故选:A
    【变式3】(2023秋·广东深圳·高一统考期末)当 SKIPIF 1 < 0 时,在同一平面直角坐标系中, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是( )
    A.B.C.
    D.
    【答案】B
    【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,故AD错误;BC中,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误,B正确.
    故选:B
    题型05求对数函数(对数型复合函数)的值域
    【典例1】(2023·高一课时练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值域为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:D
    【典例2】(2023·全国·高一假期作业)函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    【典例3】(2023秋·陕西西安·高一校考期末)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值;
    (2)求 SKIPIF 1 < 0 的值域.
    【答案】(1)最大值-1,最小值-2;(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
    SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,
    SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 ,取得最大值, SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 ,取得最小值, SKIPIF 1 < 0 .
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    【变式1】(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
    【答案】0
    【详解】解:令 SKIPIF 1 < 0 ,
    对称轴为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为: SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为:0.
    【变式2】(2023·全国·高一假期作业)已知函数 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 解析式;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值域.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴由二次函数的性质可知,在 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .(注: SKIPIF 1 < 0 也正确)
    【变式3】(2023·全国·高一假期作业)设 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的定义域;
    (2)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
    【答案】(1)2, SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)2.
    【详解】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是增函数;当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是减函数,
    函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
    题型06根据对数函数(对数型复合函数)的值域求参数
    【典例1】(2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 既没有最大值,也没有最小值,则a的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ,a不等于0时, SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值,有最小值,
    SKIPIF 1 < 0 没有最大值,有最小值,不合题意.
    当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值,有最小值,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 没有最大值,没有最小值, SKIPIF 1 < 0
    当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,二次函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值,没有最小值,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 有最大值,没有最小值,不合题意.
    当 SKIPIF 1 < 0 无解.
    当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 既没有最大值,也没有最小值, SKIPIF 1 < 0 没有最大值,没有最小值, SKIPIF 1 < 0 .
    SKIPIF 1 < 0
    故选:D.
    【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
    若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ,则需当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    此时 SKIPIF 1 < 0 ,不合题意;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    此时 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    综上所述,实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B
    【典例3】(2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习)若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】解: SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 , 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    【变式1】(2023·高一课时练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数a的值是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,则 SKIPIF 1 < 0 ,不符合题意;
    若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    【变式2】(2023春·云南昆明·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则满足要求的一个 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
    【答案】2(写出 SKIPIF 1 < 0 中的任意一个实数即可)
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,值域为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    【变式3】(2023·全国·高三对口高考)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,则a的取值范围为 ;若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则a的取值范围为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
    若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 能取到所有正数,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
    题型07对数函数(对数型复合函数)的单调性
    【典例1】(2023春·山东青岛·高二统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A.是奇函数,且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数B.是偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数
    C.是奇函数,且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数D.是偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数
    【答案】A
    【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ;
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是奇函数;
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    SKIPIF 1 < 0 由复合函数单调性可知: SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
    故选:A.
    【典例2】(2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习)函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ),则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,而 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数,
    所以由复合函数“同增异减”的性质,可知函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 故答案为: SKIPIF 1 < 0
    【变式1】(2023春·浙江衢州·高二统考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【详解】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    又函数 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    又函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    根据复合函数的单调性,可知 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C
    .
    【变式2】(2023·全国·高一假期作业)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增,在 SKIPIF 1 < 0 上递减,
    综上, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增,在 SKIPIF 1 < 0 上递减,而 SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    题型08根据数函数(对数型复合函数)的单调性求参数
    【典例1】(2023·高一课时练习)已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上的减函数,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:B
    【典例2】(2023秋·江苏连云港·高一校考期末)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( ).
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】解: SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调,函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减, SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调,
    SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选: SKIPIF 1 < 0 .
    【典例3】(2023·全国·高一假期作业)若函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,则实数a的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数,
    则有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D.
    【变式1】(2023·高一课时练习)已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调减函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    【变式2】(2023·全国·高三对口高考)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,则实数a的取值范围是 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数且恒大于0,从而有 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    【变式3】(2023·全国·高一专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减,
    设 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数,且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,满足题意;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,开口向下,在区间 SKIPIF 1 < 0 上不为减函数,不满足题意;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    所以综上可得 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    题型09比较大小问题
    【典例1】(2023春·山东德州·高二统考期末)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则a,b,c的大小关系为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:C
    【典例2】(2023春·浙江温州·高二统考学业考试) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】根据指数函数的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由对数函数的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    【典例3】(2023春·广东茂名·高二统考期末)已知 SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    【变式1】(2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ;则有 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    【变式2】(2023春·天津滨海新·高二统考期末)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则a,b,c的大小关系是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选:D.
    【变式3】(2023春·山东聊城·高二统考期末)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小顺序为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    题型10对数函数综合问题
    【典例1】(2023春·云南·高一校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 )的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的坐标;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象始终在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减, SKIPIF 1 < 0 恒成立.
    故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
    【典例2】(2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数,且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 时,
    SKIPIF 1 < 0 是奇函数又是增函数,
    且 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    【典例3】(2023春·广东深圳·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上的
    最大值为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    【详解】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,舍去;
    综上可知, SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)由(1)得, SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    构造 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 ,
    故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    【变式1】(2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)判断并证明函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值
    【答案】(1)奇函数,证明见解析
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,证明如下:
    由题得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,关于原点对称;
    SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
    (2)由 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,所以:
    函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数(同增异减),
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
    【变式2】(2023春·河北衡水·高一校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域;
    (2)判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性,并说明理由.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0 为奇函数,理由见解析
    【详解】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2) SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
    理由如下:
    由(1)可得, SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,关于原点对称,
    且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
    【变式3】(2023春·高一校考开学考试)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域;
    (2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)解:对于函数 SKIPIF 1 < 0 ,有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    因此,函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
    A夯实基础 B能力提升 C综合素养
    A夯实基础
    一、单选题
    1.(2023春·陕西宝鸡·高二统考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )的图象恒过定点( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【详解】由对数函数的性质,令 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
    故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    2.(2023春·陕西宝鸡·高二统考期末)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 大小关系为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D.
    3.(2023春·山东德州·高二统考期末)“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【详解】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    此式子对于定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 皆成立,必有 SKIPIF 1 < 0
    则 SKIPIF 1 < 0
    故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的充分不必要条件, SKIPIF 1 < 0 正确.
    故选: SKIPIF 1 < 0
    4.(2023·全国·高一假期作业)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D.
    5.(2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中)已知 SKIPIF 1 < 0 ,则实数a的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,无解,
    综上,实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    6.(2023·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中的函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减;
    函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,且当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,故A正确,C错误;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
    函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,且当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,故B、D错误.
    故选:A.
    7.(2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增, SKIPIF 1 < 0 单调递减,
    所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减, SKIPIF 1 < 0 单调递增,
    故选:A.
    8.(2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值的差不小于3,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数,
    又函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,
    所以函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数,
    故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ,最小值是 SKIPIF 1 < 0 ,
    由题设得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A.
    二、多选题
    9.(2023秋·重庆长寿·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0 图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称B. SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
    【答案】AB
    【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为: SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    内层函数 SKIPIF 1 < 0 为二次函数,其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,故A正确;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为增函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为减函数,
    所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确.
    故选:AB.
    10.(2023秋·高一单元测试)已知 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数,则实数a的值可以是( )
    A.4B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.8
    【答案】AC
    【详解】解:因为 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选项A正确,选项D错误;
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以选项B错误,选项C正确.
    故选:AC
    三、填空题
    11.(2023春·山东烟台·高二统考期末)写出一个同时具有下列性质的函数 SKIPIF 1 < 0 .
    ① SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0 为增函数.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 (形如 SKIPIF 1 < 0 都可以,答案不唯一)
    【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ,该函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    对任意的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 满足①;
    又因为函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域 SKIPIF 1 < 0 上的增函数,即 SKIPIF 1 < 0 满足②.
    故函数 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 (形如 SKIPIF 1 < 0 都可以,答案不唯一).
    12.(2023春·安徽合肥·高一校联考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
    【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    四、解答题
    13.(2023春·云南楚雄·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是2.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,求不等式 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数,
    因此当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2,即 SKIPIF 1 < 0 ,因此 SKIPIF 1 < 0 .
    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数,
    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2,即 SKIPIF 1 < 0 ,因此 SKIPIF 1 < 0 .
    故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,因此 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
    14.(2023秋·陕西咸阳·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为3.
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
    (2)假设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ,求关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ;
    当 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    综上所述, SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    (2)∵ SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    则方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
    又 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,因此 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴不等式 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
    因此不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
    B能力提升
    1.(2023春·辽宁朝阳·高二统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数,且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递减,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增,则 SKIPIF 1 < 0 ;
    故 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D.
    2.(2023春·广东深圳·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】A
    【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 是偶函数,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    构造 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,又 SKIPIF 1 < 0 也是增函数,
    则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    又 SKIPIF 1 < 0 是定义域内的增函数,故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,平方得: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:A
    3.(2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【详解】由已知得函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 为奇函数,
    令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 ,排除 SKIPIF 1 < 0 ,
    令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    其中 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,排除 SKIPIF 1 < 0 ,
    故选: SKIPIF 1 < 0 .
    4.(2023春·浙江温州·高二统考学业考试)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【详解】法一:
    因为存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,
    所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 时,为使 SKIPIF 1 < 0 有意义,
    则 SKIPIF 1 < 0 能成立,即 SKIPIF 1 < 0 能成立,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    此时 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域没有交集时,有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    所以当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集时, SKIPIF 1 < 0 .
    法二:
    因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数,
    所以若存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,则有 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    同时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上能成立,即 SKIPIF 1 < 0 能成立,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    综上: SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    C综合素养
    1.(2023春·山东滨州·高二统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)当 SKIPIF 1 < 0 时,判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性,并说明理由;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数,理由见解析.
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
    由 SKIPIF 1 < 0 得
    SKIPIF 1 < 0 ,
    故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
    因函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域不关于原点对称,所以函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数.
    (2)由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
    得 SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 ,
    设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    因 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立,
    即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最小值大于0,
    函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
    此时 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,函数 SKIPIF 1 < 0 在对称轴取得最小值,
    此时 SKIPIF 1 < 0 ,
    得 SKIPIF 1 < 0 (舍去),
    故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
    2.(2023春·浙江湖州·高一统考期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ,且对 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 恒成立.
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式;
    (2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.(其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    【详解】(1)由题意知 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    (2)令 SKIPIF 1 < 0 ,
    原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
    下面分三种情况讨论:
    ①当 SKIPIF 1 < 0 时,不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号,故 SKIPIF 1 < 0 ;
    ②当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
    ③当 SKIPIF 1 < 0 时,不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
    而 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号,故 SKIPIF 1 < 0 ;
    综上所述 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
    课程标准
    学习目标
    ①理解对数函数的概念及条件,掌握对
    数函数的图象与性质。
    ②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
    通过本节课的学习,要求掌握对数函数的概念,图象及性质,利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小,会解对数方程及对数不等式,能处理与对数函数有关的函数综合问题.
    底数
    SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    图象
    性质
    定义域
    SKIPIF 1 < 0
    值域
    SKIPIF 1 < 0
    单调性
    增函数
    减函数
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