天津市静海区第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份天津市静海区第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 基础题（共132分）
一、选择题： 每小题5分，共45分.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解出集合，再求出，再由交集定义得出结果.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故.
故选：B.
2. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.
【详解】因为，如果b是负数，则是虚数，与无法比较大小，即由不可推出，
因为，取，，则，即由不可推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】先对函数求导后，然后令可求得结果.
【详解】由题意知，
所以，解得.
故选：D.
4. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的奇偶性排除B，根据时的取值排除A，D.
【详解】当时，，所以为奇函数，排除B，选项C满足；
当时，，当时，，排除A，D，选项C满足．
故选：C．
5. 已知函数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得出是偶函数且在上单调递增，因为，，再结合的单调性即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
，所以是偶函数，
因为当，，则在上单调递增，
，，，
因为，，，
所以，因为在上单调递增，
所以，则.
故选：D.
6. （ ）
A. 6B. 8C. 9D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.
【详解】解：
.
故选：A.
7. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间内有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数
【答案】A
【解析】
【分析】先根据正弦函数的对称性求出，再根据正弦函数的单调性和对称性即可判断AC；根据极值点的定义即可判断B；根据平移变换的原则即可判断D.
【详解】因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，
又，所以，
所以，
对于A，由，得，
所以在区间单调递减，故A正确；
对于B，由，得，
所以在区间内有一个极值点，故B错误；
对于C，由，
所以直线不是曲线的对称轴，故C错误；
对于D，函数的图象向右平移个单位长度得
，故D错误.
故选：A.
8. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可.
【详解】，
在上，，即有且仅有1个零点，
所以，则.
故选：D
9. 已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究时的单调性，画出的大致图象，根据图象以及“个不同的实根”列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
作出的图象，如图所示，
，
即与共六个不等实根，
由图可知时，或，即有两个根，
若使与共六个不等实根，
只需满足，即.
故选：D
【点睛】方法点睛：研究方程的根的问题，可转化为图象交点个数来进行研究.要画函数的图象，除了基本初等函数的图象外，需要利用图象变换的知识进行作图，有的题目需要利用导数研究函数的单调性，再根据单调性来画出函数的图象.
二、填空题：每小题5分，共30分.
10. 若复数满足，则复数的虚部为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】设，代入中化简可求得结果
【详解】设，则，
由，得，
所以，所以，得，
所以复数的虚部为1．
故答案为：1.
11. 已知向量，，则______；向量在向量的投影向量是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由平面向量模的计算公式和投影向量公式可解.
【详解】由题意，，所以，
向量在向量的投影向量是.
故答案为：，
12. 函数，当x=__________时，的最大值为_________.
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】先将函数转化为的形式，然后利用三角函数的性质解决问题.
【详解】解：
，
当时，则，
所以，
所以当时，即时，.
13. 已知平面内三个向量，，，若，则k=____________.
【答案】
【解析】
【分析】先表示出，再由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，，
，
，
因为，所以，
所以，解得：.
故答案为：
14. 设，若，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可解得，根据换底公式可得，根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，
又，
所以.
因为，根据基本不等式有，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______.
【答案】
【解析】
【分析】由图，设此山高为，后利用几何知识结合正弦定理可得答案.
【详解】设此山高为，则，
在中，.
则
在中，利用正弦定理则有.解得：
故答案为：
三、解答题：（本大题共4小题，共57分）
16. （1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；
（2） 在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；
（3） 请同学们辨析总结解决平面向量数量积问题中，若选择坐标法解决，在建系时应注意什么？
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先根据题意解出的值，将转化为，求出的最小值即可解决问题；
（2）用表示出向量，借助余弦定理求解出最值；
（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.
【详解】（1）由题意知，
得，于是.
取的中点，连接DE，如图所示，
根据极化恒等式有，
因此要求的最小值，就是要求的最小值，
当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为，如图所示，
则.
所以的最小值为；

（2）设，
因为，则，
由图可得，，
所以，
即，即.
因为点为的中点，
所以，
于是.
记，
则
，
在中，由余弦定理得，，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值；
（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.
17. 已知向量，，，设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先借助三角变换知识求出函数的表达式，然后根据三角函数的性质求出结果；
（2）先求出的值，由面积得出的值，再根据余弦定理得出结果.
【小问1详解】
解：，，
，
令，，
解得，，
的单调递增区间是，；
【小问2详解】
由（1）知，
，，即
，，
，，
的面积为，，解得，
，
由余弦定理得，
，
，，
综上所述，.
18. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，
①求在处切线方程；
②求在区间上的最值；
（2）若，恒成立，求实数a取值范围.
【答案】（1）①；②最小值，最大值为
（2）
【解析】
【分析】（1）①先利用极值点求出参数值，进而得到斜率，根据点斜式公式得到切线方程；②先求出函数的单调性，进而解出最值；
（2）先进行分离变量，求出新函数的最值，进而得出结果.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
因为已知是函数的极值点，
所以1是方程的根，
可得，解得，故，
经检验符合题意，故.
①因为，
所以，，
所以切线方程为；
②因为，
所以当时；当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又由，，，
且，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
【小问2详解】
因为恒成立，即恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，
记，则，
令，得，
令，得，令，得，
列表如下：
所以函数的极大值也是最大值为，
由恒成立得，
所以.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求的值；
（2）若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【答案】（1）
（2）（i）（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先将化简得到，进而根据正弦定理得到；
（2）（i）由角的余弦定理可解得；
（ⅱ）先求出，，根据两角和差公式得出结果.
【小问1详解】
由，且C是三角形的内角，
则，
因为，所以，即，
由正弦定理得，
所以；
【小问2详解】
（i）由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故；
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
20. 设函数.
（1）当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围；
（2）若， ，证明：时，；
（3）若有两个零点，，且，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得对恒成立，即只需，由基本不等式求即可；
（2）要证时，，即证，令，对求导，得到单调性和最值，即可证明；
（3）由有两个零点，可得，两式相减化简可得，再求得，令，则令，求出的单调性和最值，即可证明.
【小问1详解】
依题意：，
在上递增，对恒成立，
即对恒成立，只需
，，当且仅当时取等号，，
的取值范围是；
【小问2详解】
要证时，，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时，.
【小问3详解】
证明：由已知得，即，
两式相减得：，即，
由，得
，
令，则令，
则，是上的减函数，，
所以，又，，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；↗
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