2022年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2022年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校中考模拟数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 6D. -6
【答案】B
【解析】
【分析】利用相反数的定义和绝对值的性质得出答案．
【详解】解：=，
的相反数是，
故选B.
【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，正确把握相反数的定义和绝对值的性质是解题关键．
2. 下列运算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的
乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】、，无法计算，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 故选．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘
除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键.
4. 如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面观察该图形，得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察图形可知，从上面看到的图形是两行：后面一行3个正方形，前面一行2个正方形靠左边，据此即可解答问题．
【详解】解：根据题干分析可得，从上面看到的图形是
故选：D．
【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴sinA=，
故选A.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6. 将抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次函数图象的平移规律进而得出答案．
【详解】抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为，即，
故选：A．
【点睛】主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项．
【详解】解：依题意可得：，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键．
8. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．
9. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A. 7.5B. 8C. 15D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选A．
考点：角平分线性质；全等三角形的判定与性质．
10. 如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB＝（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是DE∥BC，得出△DOE∽△COB，再根据相似比即可求出面积比．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
于是DE∥BC，
∴ ，△DOE∽△COB，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，解题关键在于掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
11. 全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是_____．
【答案】
【解析】
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
16000000 =.
12. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为零即可确定自变量的取值范围.
【详解】解：函数中分母，
∴；
故答案为；
【点睛】本题主要考查了函数及分式的概念，明确分式的分母不为零这一条件是解题的关键.
13. 计算的结果等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】考查了二次根式的计算，关键是熟练掌握平方差公式．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组只有两个整数解，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为为π，则阴影部分的面积为 _____．（保留π）
【答案】
【解析】
【分析】连接OE，首先由弧长公式求得∠EOD＝60°；然后利用△BEO的性质得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答．
【详解】解：如图，连接OE，
∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，
∴OE⊥BE．
设∠EOD＝n°，
∵OD＝ CD＝1，弧DE的长为π，
∴＝π．
∴∠EOD＝60°．
∴∠B＝30°，∠COE＝120°．
∴OB＝2OE＝2，BE＝，AB＝2AC，
∵AC＝AE，
∴AC＝BE＝．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE
＝××3﹣﹣×1×＝﹣．
故答案是：﹣．
【点睛】考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
17. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
18. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________．
【答案】50°
【解析】
【详解】解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵EF为⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵AB为直径，H为CD的中点
∴AB⊥CD，即∠BHE=90°，
∵∠ACF=65°，
∴∠AOF=130°，
∴∠E=360°-∠BHE-∠OFE-∠AOF=50°，
故答案为：50°.
19. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，若点C的对应点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上，则CE的长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用垂直平分线性质得出== DC，则△DC是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】解：如下图，连接 ，
∵点在AB的垂直平分线上，
∴点在DC的垂直平分线上，
∴== DC，则△DC是等边三角形，
设CE= x，易得DE= 2x，
由勾股定理得： (2x)2 -x2= 62，
解得： x=，（负值舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明△DC是等边三角形．
20. 如图，正方形中，点是边异于点、的一点，的垂直平分线分别交、、于、、，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______个．
【答案】3
【解析】
【分析】作于，根据三角形的全等得出，进而得出，再利用矩形的性质可得出；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系即可得出正确答案．
【详解】如图，作于，则，
，
，
，，，
，
，
故①正确；
由题可得：，，
；
故②正确；
如图，过作于，于，
，
是等腰直角三角形，
，
故③错误；
平分，
，
又的垂直平分线交于，
，
，
，
又，
，
即，
故④正确；
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共60分）
21. 先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝2cs30°+tan45°．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入得出x的值，继而代入计算可得答案．
【详解】解：原式＝•＝，
当x＝2cs30°+tan45°＝2×+1＝+1时，
原式＝＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值. 解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值.
22. 已知是的一条对角线．
（1）求作矩形，使得，两点都在直线上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别过A，D两点作直线BC的垂线即可；
（2）利用平行四边形和勾股定理求出AC的长，求出平行四边形的面积，进而求出矩形的面积．
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】
解：在中
，
∵
∴AC===
∴=CD×AC=BC×AE=2×=
又S矩形AEFD=EF×AE=AD×AE=BC×AE
∴S矩形AEFD=
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理求边长，利用等面积的转化是解决问题的关键．
23. 某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类—非常了解；B类—比较了解；C—一般了解；D类—不了解．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为______；
（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有______名．
【答案】（1）50名；（2）条形图见解析；（3）；（4）150名．
【解析】
【分析】（1）根据条形图和扇形图得出B类人数为20名，占40%，即可得出总数；
（2）根据总人数减去A,B,D的人数即可得出C的人数；
（3）用乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；
（4）用500乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案．
【详解】（1）本次共调查的学生数为：名；
（2）C类学生人数为：50-15-20-5=10名，条形图如下：

（3）D类所对应扇形的圆心角为：；
（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：名．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，根据图得出相关信息是解题关键．
24. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到，延长交CD于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若AB＝BC，连接EC，请直接写出图中的余弦值为的角．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接EF，根据翻折的性质证明Rt△EF≌Rt△EDF即可解决问题；
（2）设AE＝DE＝x，DF＝F＝a，则AB＝BC＝AD＝CD＝2x，CF＝CD−DF＝2x−a，然后证明∠ABE＝∠FED，可得tan∠ABE＝tan∠FED，可得DF＝DE＝x＝a，进而可得余弦值为的角．
【小问1详解】
证明：如图，连接EF，
∵△BE由△BAE翻折而成，
∴∠A＝∠EB＝90°，AE＝E，
∵E是AD的中点，
∴AE＝E＝DE，
在Rt△EF和Rt△EDF中
，
∴Rt△EF≌Rt△EDF（HL），
∴DF＝F；
【小问2详解】
解：设AE＝DE＝x，DF＝F＝a，
则AB＝BC＝AD＝CD＝2x，
∴CF＝CD−DF＝2x−a，
∵Rt△EF≌Rt△EDF，
∴∠DEF＝∠EF，
∵△BE由△BAE翻折而成，
∴∠AEB＝∠EB，
∴2∠AEB＋2∠FED＝180°，
∴∠AEB＋∠FED＝90°，
∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠FED，
∴tan∠ABE＝tan∠FED，
∴，
∴DF＝，
∴CF＝2x−a＝，BC＝2x，
∴
．
余弦值为的角为∠BFC．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
25. 小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
【答案】（1）大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）大本作业本最多能购买8本．
【解析】
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，根据数量=总价÷单价结合用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过15元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设小本作业本每本元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买本，则小本作业本购买本，
依题意，得：，
解得：．
∵为正整数，
∴的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26. 如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若DE=3，BD=6，AD=5，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AE与⊙O相切，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由AB = AC得∠ACB=∠ABC，再得∠ACB=∠ADE，最后得出∠EDA =∠CDA，可以证得DA平分∠CDE；
（2）作OP⊥BC，连接AO、BO、CO，利用等腰三角形三线合一及切线的判定定理可以得出结论；
（3）先证得ΔΑΕD∽ΔΒΕΑ，得出，从而求得AE及AB长，可得答案．
【小问1详解】
证明：∵AB = AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ACB+∠ADB = 180°，∠ADE+∠ADB = 180°，
∴∠ACB=∠ADE，
又∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADE =∠ADC，
∴DA平分∠CDE；
【小问2详解】
解：AE与⊙O相切
作OP⊥BC，连接AO、BO、CO ，
∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴ΔΑΒΟ≌ΔΑCΟ（SSS），
∴∠BAO =∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线，
∵等腰ΔΑΒΟ顶角平分线和底边上高重合，
∴A、O、P共线，
∵EA∥BC且∠APC = 90°，
∴∠EAO = 90°，
∴AE与⊙O相切；
【小问3详解】
由（1）可知：∠BAE=∠ABC=∠ADE，
又∠AEB=∠DEA，
∴ΔΑΕD∽ΔΒΕΑ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【点睛】此题主要考查切线的判定及性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定及性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
27. 直线l：分别交x轴，y轴于A，B两点，
（1）求线段的长；
（2）如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线上存在两点C，D，使四边形为正方形，求此时E点坐标和直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，将绕E点旋转，交直线l于P点，若，求P点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由直线解析式可得A，B点坐标，可求出的长；
（2）过点C作于G，证得，可得，，则，过点D作于H，求出直线的解析式，则可求出点E的坐标；
（3）①当P在x轴上方时，设，过点E作交于Q，过点P作轴于G，过点Q作轴于H，证得，②当P在x轴下方时，由点P关于x轴的对称点，可求出直线的解析式，可求出P点坐标．
【小问1详解】
解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴．
【小问2详解】
过点C作于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过点D作于H，
同理可得，，
设：，
将，代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为y．
令，则，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为；
【小问3详解】
）①当P在x轴上方时，设，
过点E作交于Q，
∴，
∴，
过点P作轴于G，过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将，代入中，
得，
解得，
∴．
②当P在x轴下方时，可得当旋转后，过①中点P关于x轴的对称点时，
，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：．
∴．
综合以上可得点P的坐标为或．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．