江苏省南京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份江苏省南京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析），共18页。试卷主要包含了01， 函数的定义域为， “”是“”的， 已知函数，则的值为， 函数的图像大致为， 已知角的终边经过点，则， 若，则等内容，欢迎下载使用。
2023.01
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)
1. 函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
2. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：A．
3. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．
【详解】解：根据，，代入计算，可以排除；
根据，，代入计算，可以排除、；
将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意
故选：．
【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．
4. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为( )(单位：弧度)(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.)
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.
【详解】设中周半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C
5. 已知函数，则的值为( )
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数运算求解.
【详解】由题意可得：，故.
故选：B.
6. 函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．
【详解】由函数定义域为,,故为奇函数，
故它的图像关于原点对称，可以排除C和D；
又函数在时,函数，可以排除B，所以只有A符合．
故选:A．
7. 在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，，则( )
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合指、对数运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
8. 函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围.
【详解】已知,,
函数的零点为，
函数的零点为，
则
又因,这两函数均单调递增，
当时，,解得.
故选:D
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
9. 已知角的终边经过点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：构造函数，利用单调性判断；对于B：构造函数，利用单调性判断；对于C：构造函数，利用单调性判断；对于D：利用作差法比较大小.
【详解】对于A：因为，所以单调递减.
因为，所以.故A错误；
对于B：因为，所以单调递增.
因为，所以.故B正确；
对于C：因为，所以单调递减.
因，所以.故C正确；
对于D：因为，所以.故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则( )
A. 的最小正周期为B. 的图象关于轴对称
C. 的最小值为2D. 在上为增函数
【答案】AD
【解析】
【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A正确；举反例即可排除B；取特殊值计算即可判断C错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D正确.
【详解】对于A，因为，
设的正周期为，则，即，
所以，
由诱导公式可得，即，
又，故，即，则，故，
所以的最小值为，即的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，
又与不关于轴对称，
所以图象关于轴对称，故B错误；
对于C，因为，所以2不是的最小值，故C错误；
对于D，因为，所以，故在上单调递减，且，
又在上单调递减，
所以在单调递增，故D正确.
故选：AD.
12. 已知函数，对于任意，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令，故A正确；
由已知，①
令满足题干要求，则，故B错误；
由①可知，令，则，
又因为，则，所以，故C正确；
因为，所以，
又由①，令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13. 函数的图象关于点_________中心对称.(写出一个正确的点坐标即可)
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】对称中心的横坐标满足，取得到
【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.
故答案为：
14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由的解集为，
可得，且方程的解为，
所以，则，
所以，
即关于的不等式的解集为.
故答案为：.
15. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.
【详解】由可得的函数周期为4，则，
由，则，解得.
故答案为：1.
16. 对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则___________；若，，且存在，，则实数的取值范围是_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a的大致范围，最后列出不等式求解即可.
【详解】即则一定有，所以分三段研究：
时，，，即；
时，，，即；
且时，，，即.
综上所述，；
由已知
且，
要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，(其中，即为集合的补集中一段的区间长)
此时，因此满足题意的反面情况有或，
解得或，因此满足题意的范围为.
四、解答题(本题共6小题，共70分.)
17. 求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)128 (2)8
【解析】
【分析】(1)根据指数幂的运算求解；
(2)根据对数和指数的运算性质求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 若.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)化简得到，平方得到，得到答案.
(2)根据得到，解得，得到答案.
【小问1详解】
，则，
，，，则；
【小问2详解】
，所以，即，，
.
，解得，
19. 已知集合，.
(1)若，求；
(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_________，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)选①；若选②.
【解析】
【分析】(1)代入的值，求出集合B，用并集的运算性质计算即可.
(2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围.
【小问1详解】
，即，
而，即，所以；
【小问2详解】
若选①即
时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍；
时，，即，符合题意；
时，，即，要满足题意则，即.
综上所述，实数的取值范围是.
若选②，若，
时，，即，要满足题意则，则满足，解得，则；
若时，，即，满足；
时，，即，要满足题意则解得，即；
综上，实数的取值范围是.
20. 函数(，)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为偶函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式；
(2)由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.
【小问1详解】
由最值得，
由相邻两条对称轴距离得，则，即，
此时，
代入点得：，
则，即，
又因为，所以，
故.
【小问2详解】
由题意得，
则，
因为，
所以为偶函数.
21. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费(单位：万元)与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为(单位：万元).
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
【答案】(1)
(2)设备占地面积为时，的值最小.
【解析】
【分析】(1)由题意解不等式，即可求得；
(2)利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意得.
要满足题意,则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
【小问2详解】
，
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
22. 已知函数，.
(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；
(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；
(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；(2)先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围；
(3)采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.
【小问1详解】
解：，
因为，所以，，所以，
即在上是增函数.
【小问2详解】
解：由已知
设，由(1)得在上单调递增，即，
所以，
①时，，即，当且仅当时取等，
此时要满足恒成立，即，所以；
②时，，此时在上单调递减，
即，
此时要满足恒成立，即，化简得，
此时因为，此时恒成立
综上所述，实数的取值范围是.
【小问3详解】
解：
因为(当且仅当时取等)，所以，即，
由已知，所以，
又因为，所以，即，
因此，所以.
x
y