人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示课时训练

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知识精讲
知识点01复数的三角形式
1.复数的辅角：设复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，以x轴的正半轴为始边，向量 SKIPIF 1 < 0 所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角，记作Arg SKIPIF 1 < 0 ，其中适合 SKIPIF 1 < 0 的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
说明：（1）不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍，即Arg SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +arg SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=π，argai= SKIPIF 1 < 0 ，arg（-ai）= SKIPIF 1 < 0 ，arg0不一定。
【即学即练1】 设函数 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
知识点02复数的三角形式
r(csθ＋isinθ)叫做复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．定义本身告诉我们复数的三角形式和代数形式可以互化。
【即学即练2】复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
知识点03复数三角形式的运算
：设 SKIPIF 1 < 0 =r(csθ＋isinθ)， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (csθ1＋isinθ1)， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (csθ2＋isinθ2)．则
（1）乘法： SKIPIF 1 < 0 （向量的旋转与伸缩）
（2）除法： SKIPIF 1 < 0
（3）乘方： SKIPIF 1 < 0
（4）开方： SKIPIF 1 < 0 ，其几何意义：复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点。
【即学即练2】欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
能力拓展
考法01
【典例1】设复数z的辐角的主值为 SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式训练】在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 （i是虚数单位）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考法02辐角主值
【典例2】复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式训练】复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考法03复数三角形式应用
【典例3】欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
【变式训练】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
分层提分
题组A基础过关练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4． SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知复数满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数的模是（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实部为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则（）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
9．下列说法中正确的有（）
A．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第四象限；
B．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第三象限；
C．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰或直角三角形；
D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均为实数），下列说法正确的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
四、解答题
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
题组B能力提升练
一、多选题
1．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 的模等于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 ，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．z是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根D．满足 SKIPIF 1 < 0 最小正整数n为3
3．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
4．以下不是复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如果非零复数z有一个辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列对z判断错误的是（）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 D．辐角主值为 SKIPIF 1 < 0
6．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 的模长等于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第一象限
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
8．下列关于复数z的运算结论，正确的有（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．任何一个复数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ，i为虚数单位）都可以表示成： SKIPIF 1 < 0 的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： SKIPIF 1 < 0 ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，若n为偶数，则复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关于复数z的结论中正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．复数z是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根
D．复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0
题组C培优拔尖练
一、单选题
1．复数 SKIPIF 1 < 0 的值是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．16C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
3．若 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
4．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
三、解答题
5．在复平面内，设复数 SKIPIF 1 < 0 对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，它的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 对应向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若复数 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，并用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 所对应的复数 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在变化时会对应到不同的复数 SKIPIF 1 < 0 ，若取不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得其所对应的复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 可以构成矩形．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的三角形式；
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a，b的值.
7．求满足方程 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值最小的复数z．
．设O为复平面的原点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为复平面内的两动点，并且满足：
（1） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所对应的复数的辐角分别为定值 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
（2） SKIPIF 1 < 0 的面积为定值S.
求 SKIPIF 1 < 0 的重心Z所对应的复数的模的最小值．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设z的辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．课程标准
课标解读
1.掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化;
2.掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用
复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用