数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时练习，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步讲义第06讲平面向量的数量积二原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册同步讲义第06讲平面向量的数量积二含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点01 平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【即学即练1】 已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
知识点02 平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．
【即学即练2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
知识点03 用已知向量表示其他向量
反思感悟
能力拓展
考法01 向量的数量积的运算性质
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【详解】`
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【变式训练】（多选） SKIPIF 1 < 0 中，点M是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定不是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【详解】因为点M是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：ABC
考法02 求向量的模和向量的夹角
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
考法03 与垂直有关的问题
【典例3】下列说法中正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．对任意两向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相反向量
【答案】D
【详解】A.因为当两向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不正确，故A错误；
B.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C. SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定平行，故C错误；
D. 根据相反向量的定义可知 SKIPIF 1 < 0 的相反向量是 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D
【变式训练】已知两个单位向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
又向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 且为单位向量，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
分层提分
题组A 基础过关练
1．设非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：由题意 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同或相反
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：对于A，向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，且均为非零向量，故向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同或相反，故A选项正确；
对于B，向量的模有大小，向量不能比较大小，故B选项错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 只能说明模相等，无法说明方向的关系，故C选项错误；
对于D，向量数量积没有结合律，故D选项错误.
故选：A
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是与向量 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可知向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
6．（多选）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个三等分点（靠 SKIPIF 1 < 0 点更近），所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选：AD
7．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】解：对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，也可能是 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C选项，两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ABD
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量的模为_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若D为BC中点，则 SKIPIF 1 < 0 为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
另解：
作向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组B 能力提升练
1．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于150°，
故选：D.
2．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，与自然科学结合在一起不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列说法不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，作图如下：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，作图如下：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由题意，作图如下：
由对称性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则根据向量加法的平行四边形法则，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由题意，作图如下：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D.
3．（多选）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 四点分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则以下表述正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图， SKIPIF 1 < 0 四点分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C：由 SKIPIF 1 < 0 可知，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，两向量所在直线为平行四边形 SKIPIF 1 < 0
对角线所在直线，两向量不共线，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 D．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
5．平面上的向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
故答案为：3.
7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，中心为 SKIPIF 1 < 0 ，四个半圆的圆心均为正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点（如图2），若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】8
【详解】方法一：
图3
如图3，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点.
易知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
图4
如图4，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：8.
方法二：
图5
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点.
易知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
如图5，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：8.
8．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##-0.5
【详解】由已知有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题知， SKIPIF 1 < 0 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
数形结合可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．如图，梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，用向量 SKIPIF 1 < 0 表示的向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为大于零的常数），求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并指出相应的实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
题组C 培优拔尖练
2022年12月23日高中数学作业
1．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不共线的单位向量，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D．8
【答案】C
【详解】以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为两边作△ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
则在△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：C
3．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成夹角的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中x、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中，
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③存在x、y，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 .
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，②错误；
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 至少一正，若 SKIPIF 1 < 0 一正一负，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 均为正，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则存在x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
当 SKIPIF 1 < 0 取最小值2时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，④正确.
所以正确结论的个数为3.
故选：C.
5．（多选）定义： SKIPIF 1 < 0 两个向量的叉乘为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的夹角），则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则它的面积等于 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 至少有1个为零向量，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 都不是零向量，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 同向或反向，故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上：A正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故B错误；
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则它的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式平方后相加得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
6．（多选）已知非零平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合选项，可得 SKIPIF 1 < 0 的值可能为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，记 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，注意到 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时， SKIPIF 1 < 0 最小，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点O为三角形的外心.
（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是 SKIPIF 1 < 0 三边中垂线的交点．
如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
课程标准
课标解读
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
1、平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用.
2、熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用．
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a