高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练

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知识精讲
知识点 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 向量的一个基底．
【即学即练】 （多选）下列结论正确的是（ ）
A．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有两解
C．向量 SKIPIF 1 < 0 能作为所在平面内的一组基底
D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则A，B，P三点共线
反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
能力拓展
考法01 平面向量基本定理的理解
【典例1】已知G是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考法02 用基底表示向量
【典例2】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 SKIPIF 1 < 0 图 SKIPIF 1 < 0 中的正八边形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底
考法03 平面向量基本定理的应用
【典例3】在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是BC的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．6
【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
3．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
5．如果 SKIPIF 1 < 0 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．平面内任意一个向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示成 SKIPIF 1 < 0 ，其中m，n为实数
C．对于m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在两对以上实数m，n，使 SKIPIF 1 < 0
7．（多选）在下列向量组中，可以把向量 SKIPIF 1 < 0 表示出来的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
8．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的向量，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则实数 SKIPIF 1 < 0 ________.
11．如果 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 SKIPIF 1 < 0 ＝________.我们把 SKIPIF 1 < 0 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
12．已知下列四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②设 SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，则给定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
③第一象限角小于第二象限角；
④函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
正确的有________.
题组B 能力提升练
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．若 SKIPIF 1 < 0 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
4．如果 SKIPIF 1 < 0 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
5．在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A．设 SKIPIF 1 < 0 是同一平面上的四个点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必共线
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 上的两个向量，则平面 SKIPIF 1 < 0 上的任一向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示为 SKIPIF 1 < 0 ，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
D．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
6．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，向量 SKIPIF 1 < 0 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 SKIPIF 1 < 0 ，总存在向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
B．给定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
C．给定单位向量 SKIPIF 1 < 0 和正数 SKIPIF 1 < 0 ，总存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，存在单位向量 SKIPIF 1 < 0 和正实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
7．（多选）下列说法中正确的为（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
B．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
D．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°
8．（多选）下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 能作为平面内所有向量的一组基底
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若 SKIPIF 1 < 0 是正八边形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 是两个不共线的非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 可以作为一个基底；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为基底，求向量 SKIPIF 1 < 0 的分解式．
题组C 培优拔尖练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，两条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D是边AB上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
5．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AE与BD交于O点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则mn的值为___________.
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 三点共线.
8．如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三点共线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
课程标准
课标解读
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.
3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．