河南省历年中考数学试卷压轴题

这是一份河南省历年中考数学试卷压轴题，共14页。试卷主要包含了0cm”等内容，欢迎下载使用。
22．
小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点Р在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m）近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8﹔若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m）近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2．
（1）求点Р的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
23．
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4，0)的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的C图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点0顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
（2）探究迁移
如图2，□ABCD中，∠BAD＝α(0°＜α＜90°)，P为直线AB下方一点，作点Р关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD＝m ，求P，P3两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若α＝60°，AD＝2，∠PAB＝15°，连接P2P3．当P2P3与□ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．
2022年河南省中考数学试卷压轴题
22．
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD＝．已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
23．
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

图1 图2 图3
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
2021年河南省中考数学试卷压轴题
22．(10分）
如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，O)和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xm的取值范围．
23．(10分）
下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是(填序号)．
①sss ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝＋1．点C，D分别为射线OA，0B上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．

2020年河南省中考数学试卷压轴题
22．
小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是弧BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在弧BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①“当点D为弧BC的中点时，BD＝5．0cm”．则上中a的值是______
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由；
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值．(结果保留一位小数)．
23．
将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α．连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE，
（1）如图1，当α＝600时，△DEB′的形状为______，连接BD，可求出的值为______；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
2019年河南省中考数学试卷压轴题
22．(10分)
在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点Р逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想：如图1，当α＝60°时，的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______；
（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，请写出的值&直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由；
（3）解决问题：当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
23．(11分)
如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝－x－2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Р是抛物线上一动点，过点Р作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点Р在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx＋b的解析式．(k，b可用含m的式子表示)
2018年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为______；
②∠AMB的度数为______．
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
23．（11分）
如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x－5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
2017年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
23．（11分）
如图，直线y＝－x＋c与轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
2016年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．
填空：当点A位于______时线段AC的长取得最大值，且最大值为______（用含a，b的式子表示）
（2）应用
点A为线段B除外一动点，且BC＝3，AB＝1．如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝900．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
23．（11分）
如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B（0，－2）．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出P点的坐标．
2015年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：①当α＝0°时，＝______；
②当α＝180°时，＝______．
（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

23．（11分）
如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD、PE、DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
2014年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为______；
②线段AD，BE之间的数量关系为______．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
23．（11分）
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE＝5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2013年河南省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是______；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______．

（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

23．（11分）
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．