2024连云港高三上学期期中考试数学含解析

这是一份2024连云港高三上学期期中考试数学含解析，共13页。试卷主要包含了请用2B铅笔和0，已知，则，若，，，则，在等比数列中，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m为实数，，.若，则（ ）
A.1B.-1C.0D.0或-1
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.设，（），若，则（ ）
A.B.C.D.
4.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：，）（ ）
A.0.2
5.已知，则（ ）
A.5B.C.-5D.
6.若，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.在等比数列中，，，则（ ）
A.的公比为4B.的前20项和为170
C.的前10项积为D.的前n项和为
10.已知直线l：（），则（ ）
A.直线l过定点B.直线l与圆相切时，m的值是-1
C.原点到直线l的最大距离为2D.直线l与圆相交
11.定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A.是奇函数B.在上单调递减
C.D.
12.在正四棱柱中，，.H，，E分别为，，的中点，点M在直线上，，.下列说法正确的有（ ）
A.当时，与所成角的余弦值为
B.当时，点M到平面的距离为
C.当时，平面
D.若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若，则____________.
14.若直角三角形两条直角边的和为10，则其斜边的最小值是___________.
15.点F为双曲线（，）的右焦点，直线与双曲线交于B，C两点，且，则该双曲线的离心率为___________.
16.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角a，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________.
四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
18.（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求b.
19.（12分）
如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
（1）证明：；
（2）若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
20.（12分）
某高中有50名学生参加数学竞赛，得分（满分：150分）如下：
（1）若得分不低于120分的学生称为“数学优秀者”.问：是否有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有关；
（2）若在竞赛得分不低于130分的男生中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在内的概率.
附：，其中.
21.（12分）
己知椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线1交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线与直线交于点Q.证明：点Q在定直线上.
22.（12分）
已知函数.
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若在区间上存在极值，求实数a的取值范围.
2022~2023学年第一学期期中调研考试
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】B
【解析】，则或，∴或0
时，，，，满足.
时，，，，不满足，选B.
2.【答案】A
【解析】“”，则，则一定有，充分.
时，不一定有，不必要，选A.
3.【答案】A
【解析】
，∴，∴，选A.
4.【答案】B
【解析】，∴，∴，
∴，选B.
5.【答案】D
【解析】，则
，
，，
∴，选D
6.【答案】C
【解折】，，，∴a最小.
，，，，∴，选C.
7.【答案】D
【解析】设，，，.
，选D
8.【答案】B
【解析】，，则
在上存在唯一的极值点，则，∴.
或，∴，选B.
时，，无解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.【答案】ABC
【解析】，∴，∴，，A对.
，，B对.
，C对.的前n项和，D错，
选ABC.
10.【答案】AB
【解析】过定点，A对.
直线l与圆相切时，，∴，B对.
，∴原点到l的最大距离为，C错.
圆，化简，圆心，，
在圆上，直线l与圆可能相切，D错，选AB.
11.【答案】AC
【解析】时，，∴，，
，，∴为奇函数，A对.
，时，，∴，C对.
时，，而，∴不可能单调减，B错.
令，则，，
，∴，
则，即，则在，
，D错，选AC.
12.【答案】BC
【解析】如图建系，，，.
对于A.，，，
，A错.
对于B，，E到面的距离为B到面的距离，，，∴.
设M到平面的距离h，则，∴，B对.
对于C，，，，，，
，，∴面，C对.
对于D，，，，面的法向量，
，∴，不妨设，则，，
，而的法向量，
，∴，不妨设，则，，
，，或2，D错，选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】0
【解析】令，为奇函数，，
，∴，则，.
14.【答案】
【解析】设两直角边为a，b，则，斜边
15.【答案】
【解析】，则，，
，∴，∴，∴.
16.【答案】1
【解析】过原点作的切线，切点，，
，过，
∴，∴，，.
切点，，，，
，∴，.，∴两切线垂直，∴，.
四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解析】
（1）∵①
时，②
①②（），而也满足上式，
∴.
（2）
∴.
18.【解析】
（1）证明：
∴，.
∴.
（2）.
∴.
19.【解析】
（1）证明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H为中点，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，∴平面.
过E分别作交于点I，交于点J，连接.
∴.
20.【解析】
（1）2×2列联表如下：
∴有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有关.
（2）得分不低于130分的男生有12人，其中得分在内的有3人.
∴3人中至少有1人得分在内的概率.
21.【解析】
（1）∵椭圆过点M，∴，
∵，∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）方法一：设直线l的方程为，，，，
，
∴直线方程为：，直线方程：.
联立，方程
，∴.
∴点Q在定直线上运动.
方法二：和差转化
∴，
∴.
方法三：点代平方差
∵D在椭圆上，∴，∴
∴
，
∴.
22.【解析】
（1）∵恒成立，
而时，，∴，，∴.
时，，∴，，∴，∴，
即实数a的取值范围为.
（2）在上有变号零点，
即在上有变号零点.
令，，
.
①当时，，在上，，在上无零点，舍去.
②当时，，在上，，在上无零点，也舍.
③当时，令，
且在上；上，此时，
∴在上有唯一的变号零点，符合.
综上：实数a的取值范围为.女生
1
4
5
5
3
2
男生
0
2
4
12
9
3
0.05
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
数学是否优秀
性别
数学优秀者
不优秀
合计
男
24
6
30
女
10
10
20
合计
34
16
50