2024南昌三校（南昌一中、南昌铁路一中、南昌第十中学）高三上学期第一次联考数学含解析

这是一份2024南昌三校（南昌一中、南昌铁路一中、南昌第十中学）高三上学期第一次联考数学含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：150分考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则等于（ ）
A.0B.C.1D.
2.已知集合，，则等于（ ）
A.B.C.D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.如图所示，矩形的对角线相交于点O，E为的中点，若则等于（ ）
A.B.C.1D.-1
5.已知是等比数列，，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
7.在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，则函数图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A.4B.C.6D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设向量，，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知命题：，，则“命题为真命题”的一个充分条件是（ ）
A.B.C.D.
11.已知函数的部分图象如图，则下列判断正确的有（ ）
A.函数的周期为
B.对任意的，都有
C.函数在区间上恰好有三个零点
D.函数是奇函数
12.已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，.记数列的前项和为，有下列选择支中，判断正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.设向量，向量，且，则等于__________.
15.如图：直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为2，4，过点且夹角为的两条射线分别与，相交于B，C两点，则面积的最小值是__________.
16.若存在单调递减区间，则正数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图数表中，第行中，第个数为，共有个数.
（1）求第行所有数的和；
（2）求前10行所有数的和.
第1行1
第2行 1
第3行，，，1
… … … …
第行，，，…，1
18.（本小题满分12分）
已知点是的外接圆的圆心，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）求.
19.（本小题满分12分）
已知向量，，函数的最小正周期为.
（1）求实数的值；
（2）已知，，，，求.
20.（本小题满分12分）
如图，已知菱形中，，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.
（1）求；
（2）求二面角的余弦值.
21.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，即某队先赢得3局比赛，则比赛结束且该队获胜，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次目上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
（1）若求甲队明星队员M在前三局比赛中出场，记前三局比赛中，甲队获胜局数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）若已知甲乙两队比赛3局，甲队以获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.
22.已知函数，（，是自然对数的底数）.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考
数学试卷参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】，所以.
2.【答案】B
解析：由，得到，即，由
即，则.
3.【答案】C
【解析】，
故公差.
答案：C.
4.【答案】A
【解析】.
，，.
5.【答案】B
【解析】因为是等比数列，，所以
或，
为递增数列，所以是必要不充分条件.
6.【答案】B
【解析】，，，，
所以.
7.【答案】D
【解析】在中，，
在中，.
8.【答案】A
【解析】
因此函数的图象关于点成中心对称，，，函数在区间上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ACD
【解析】因为，所以A正确，B不正确；
，所以，C正确；
，所以，D正确.
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
【解析】由对称性知道，，因此，A不正确；
，又，结合图象，可以取，即，因此，因此B正确；
当时，，有三个零点，因此C正确；
是奇函数，因此D正确.
12.【答案】ABD
【解析】A.；
B.在数列中是第项，所以；
C.；
D.
.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】
，故答案为：.
14.【答案】
【解析】因为，则，即，
则.
15.【答案】
【解析】设与垂线的夹角为，则
，，
所以面积，
所以当，即当时，面积最小，最小值是.
16.【答案】
【解析】依题意有解，即，
即，即有解，
构造函数，单调递增，
因此不等式转化为，即有解，
记，，
从而求得，因此.
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）第行所有数的和为
；
（2）前10行所有数的和为
，
即.
18.【解析】（1）由余弦定理得：.
所以，因此，
所以外接圆的面积为；
（2）设的中点为，则，
所以.
19.【解析】（1）
，
所以；
（2）
又，所以，
，
又，所以，
所以.
20.【解析】（1）连接，设，连接，
因为平面，所以，得到，
又菱形中，，所以，
所以；
（2）因为，，
所以，，
因此是二面角的平面角，，
如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.
依据题意，，，，
从而，，
设平面的法向量，
由得到，
由得到，
令，，，
设平面的法向量，
由得到，
由得到，
令，，，
因此，
所以，所求二面角的余弦值是.
21.【解析】（1）Y可能取值有0，1，2，3.
，
，
，
，
因此，随机变量X的分布列是
数学期望；
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，为前3局甲队明星队员没有上场比赛，
因为每名队员上场顺序随机，，，
，
，
甲队明星队员上场的概率.
22.【解析】（1），
当时，，函数在上递减；
当时，由，解得，故函数在上单调递减，
由，解得，故函数在上单调递增.
综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.
（2）当时，，
即，故，
令
，
则，
若，则当时，，函数在上单调递增，
当时，
，
当时，单调递增，
则，符合题意；
若，则，
，
由得，
故，
存在，使得，
且当时，，
在上单调递减，
当时，，不合题意，X
0
1
2
3
P