2024周口项城一中高三上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2024周口项城一中高三上学期11月期中考试数学含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
5. 已知的外心为，且，，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知，均大于1，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9C. 的最大值为1D. 的最小值为
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为的对称轴
C. D.
12. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则（ ）
A. 中有个1
B 中有个0
C. 中0的总个数比1的总个数多
D. 中1总个数为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
14. 已知等比数列中，若，则=__________．
15. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现. 已知点在圆上，且，，则四边形的面积为______________.
16. 若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足
（1）求角；
（2）若的外接圆周长为，求边上的中线长.
18. 设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围.
19. 的内角的对边分别为的面积为.
（1）求；
（2）设点为外心，且满足，求.
20. 已知数列满足，.
（1）证明为等差数列，并求的通项公式；
（2）若不等式对于任意都成立，求正数的最大值.
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知是和的等比中项.
（1）证明：
（2）求的取值范围.
22. 已知函数为其导函数．
（1）求在上极值点的个数；
（2）若对恒成立，求的值．2023--2024学年高三上期第四次段考
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法及对数函数的定义域求得集合M、N，再根据交集的概念计算即可.
【详解】由，所以，
由对数函数的定义域知，即,
所以.
故选：D
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用待定系数法设，再代入已知条件解方程即可.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
则解得，即，所以复数的虚部为.
故选：A.
3. 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案.
【详解】，故，整理得到，即，
故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，
即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
5. 已知的外心为，且，，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，确定的形状，并求出角C，再利用投影向量的意义求解作答.
【详解】在中，由，得点为线段的中点，而为的外心，
则，即有，又，则为正三角形，因此 ，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
6. 已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性，建立方程求出的值，然后利用辅助角公式求出的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．
【详解】由函数的图象关于直线对称，得，
所以，解得，
所以，
又由，，
所以，
所以的最小值为函数的最小正周期．
故选：B.
7. 已知，均大于1，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简表达式，将问题转化，构造函数，画图分析即可.
【详解】由得：
，
即，
同理，
，
上述可化为：，其中且都大于1，
分别为，且，
令，
如图所示：

由图可得：
故选：B
8. 已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，将方程转化为，设，且，由导数得出的单调性与值域，并画出简图，设，则，得，分类讨论的范围，即可得出的范围．
【详解】令，得，
当时，，即或，只有2个零点，不合题意，故，
又，
所以，
设，且，
则，令，解得，且，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则在的最小值为，
画出简图，如图所示，

所以当时，，当时，，
设，则，
变形为，
记，令，则，
画出简图，如图所示，
①当时，只有一个根，
则只有一个根，不合题意；
②当时，有两个根，
则有一个根，有两个根，符合题意；
③当时，有两个根，
则有一个根，有一个根，不合题意；
综上所述， ，即，
故选：D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用消元法即可判断C；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以（舍去），所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16，故A正确；
对于B，因为，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得，则，
则，故C错误；
对于D，，
当，即时，取得最小值，
所以当时，的最小值为，故D正确.
故选：ABD
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.
【详解】如图所示：

由图可知，又，
所以，所以，
又函数图象最高点为，
所以，即，
所以，解得，
由题意，所以只能，故A选项正确；
由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，
但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；
当时，，，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以函数在的值域为，故C选项正确；
若将函数图象向左平移个单位，
则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.
故选：ACD.
11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为的对称轴
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；
是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；
所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错；
又，图象关于点对称，因此与图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
12. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则（ ）
A. 中有个1
B. 中有个0
C. 中0的总个数比1的总个数多
D. 中1的总个数为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定有序数列的定义得到，，,，，探究得到的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可.
【详解】因为，所以，，，，，
显然，，，中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，
，，中共有3,6,12项，其中为1，为0，
设中总共有项，其中有项1，项0，
则，，，
所以中有个1，A正确；
中有个0，B错；
，则，，，，中的总数比1的总数多，C正确；
，，，，中1的总数为，D错.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
【答案】2
【解析】
【分析】由点知,再由点可得.
【详解】由图可知.
【点睛】本题解题关键在能结合图象中的点的坐标弄清楚数之间的对应关系.
14. 已知等比数列中，若，则=__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式化简，解方程组得结果
【详解】因为等比数列中通项公式可知，，那么联立方程可知首项为128，公比为，
结合9.
故答案为：9.
15. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现. 已知点在圆上，且，，则四边形的面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线得到，结合勾股定理得到，利用余弦定理得到，再计算面积得到答案.
【详解】如图所示：设圆心为，连接，，
，，故平分，，
又，解得，，，
中：，即，
解得或（舍）.
故，
故四边形的面积为.
故答案为：.
16. 若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设两函数图象的公共点横坐标为，求导后得到方程，求出，从而得到，即，构造函数，求导得到单调性，进而求出，求出答案.
【详解】的定义域为，的定义域为R，
设两函数图象的公共点横坐标为，则，
，，则，即，
解得或，
因为，所以（舍去），满足要求，
且，即，
故，，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足
（1）求角；
（2）若的外接圆周长为，求边上的中线长.
【答案】（1）所选条件见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化简条件求角；
（2）由已知易得为顶角为的等腰三角形，是中点，则，利用向量数量积的运算律求中线长度.
【小问1详解】
选（1），则，
所以，而，则，
所以；
选（2），则，
所以，而，则；
选（3），则，，
所以，
所以，则，
而，则.
【小问2详解】
由，则，故，，即，
结合（1）易知：为顶角为的等腰三角形，如下图，是中点，
外接圆周长为，若外接圆半径为，则，
所以，而，
所以，
则，即求边上的中线长为.
18. 设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解.
（2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.
【小问1详解】
一方面：因为，所以，
所以，即；
另一方面：又时，有，即，且，
所以此时；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可知，
又由题意，
数列前项和为，
又，都有，故只需，
而关于单调递增，
所以关于单调递减，关于单调递增，
所以当时，有，
因此，即，解得，
综上所述：的取值范围为.
19. 的内角的对边分别为的面积为.
（1）求；
（2）设点为外心，且满足，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义得，再结合三角形面积公式可得，从而得角；
（2）由圆性质得，然后由数量积定义求得，再由正弦定理求得．
【小问1详解】
，
两式相除得：，
又，∴.
【小问2详解】
为外心，故.
由正弦定理可知：.
20. 已知数列满足，.
（1）证明为等差数列，并求的通项公式；
（2）若不等式对于任意都成立，求正数的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义，即可证明，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将不等式变形，可得，令，由其单调性可得，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，两边同时取倒数可得，，即，
所以，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，且，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
令，所以，
由可知，随增大而增大，只需即可，
且，所以的最大值为.
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知是和的等比中项.
（1）证明：.
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列及余弦定理化简，再由正弦定理统一为三角函数，化简即可得解；
（2）利用三角函数化简后，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出值域即可.
【小问1详解】
因为是和的等比中项，
所以，即，
由余弦定理可得，
故，即，
由正弦定理可得，
即
，
又，
所以，即.
【小问2详解】
由（1）可知，解得，，
由，
令，
.
令，得，即在区间上单调递增；
令，得，即在区间上单调递减.
因为，，，
故，即的取值范围为.
22. 已知函数为其导函数．
（1）求在上极值点的个数；
（2）若对恒成立，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数的单调性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.
【小问1详解】
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
【小问2详解】
当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩，如等．