山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案)

这是一份山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则( )
A.B.C.D.
2、“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、在直角坐标系xOy中,若点从点出发,沿圆心在原点,半径为3的圆按逆时针方向运动到达点Q,则点Q的坐标为( )
A.B.C.D.
4、函数的零点所在的一个区间是( )
A.B.C.D.
5、把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.再把所得曲线向左平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.B.C.D.
6、已知,若恒成立,则K的最大值为( )
A.4B.5C.24D.25
7、设函数,则下列函数为奇函数的是( )
A.B.C.D.
8、已知,设,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知幂函数的图象过点,则( )
A.是偶函数B.是奇函数
C.在上为减函数D.在上为减函数
10、下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
11、已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.图象的对称中心为,
C.直线是图象的一条对称轴
D.的图象与的图象有3个交点
12、设,都是定义域为的单调函数,且对于任意,,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、设函数,若,则____________.
14、已知命题,若命题p是假命题,则a的取值范围是_____________.
15、彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化,有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等.其中蕴含着丰富的数学文化,如图1,漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹,这些螺线均匀分布,将其简化抽象后得到图2,若,则的值为____________.
四、双空题
16、已知函数有唯一零点,则_____________,的解集为________________.
五、解答题
17、回答下列问题
（1）求;
（2）若,用a,b表示.
18、已知.
(1)求的值;
(2)在中A,B为锐角,且,求C的值.
19、已知函数的定义域为集合A,的值域为集合B.
(1)求集合;
(2)已知集合,若“”是“”的充分不必要条件,求a的取值范围.
20、已知函数.
(1)若的图象关于直线对称,,求的单调递增区间;
(2)在（1）的条件下,当时,和是的两个零点,求的值和m的取值范围.
21、若函数和的图象均连续不断.和均在任意的区间上不恒为0,的定义域为,的定义域为,存在非空区间,满足,则称区间A为和的“区间”.
(1)写出和在上的一个区间”（无需证明）;
(2)若,,是和的“区间”,求a的取值范围.
22、已知函数.
(1)若函数的值域为R.求a的取值范围;
(2)已知函数在上单调递增,若,是关于x的方程的两个不同的解,证明：.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意可得：,
则.
故选：A.
2、答案：B
解析：由题意可知,可得或;
而时,可得,所以“”“”;
因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3、答案：C
解析：根据题意可知,作出图示如下：
根据题意可得,,作轴且垂足为;
利用三角函数定义可得,;
又Q点在第四象限,所以点Q的坐标为.
故选：C.
4、答案：B
解析：在上单调递增,且,.
则由零点存在定理得所求零点在区间.
故选：B.
5、答案：A
解析：函数的图象向右平移个单位长度,
得到,
再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到.
故选：A.
6、答案：C
解析：,所以,
,
当且仅当,即时等号成立,
即,
由题意可得：,又,解得,
故k的最大值为24.
故选：C.
7、答案：A
解析：由可得,
根据函数图象平移变换可知是由函数向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的,
而即为奇函数;
所以只需将反向平移,即向右平移2个单位得到,再向上平移1个单位得到,即为奇函数.
故选：A
8、答案：C
解析：由可得：,由可得：,
所以,,由,可得：,
解得：,因为,所以,
又因为,所以,
故选：.
9、答案：AD
解析：根据幂函数定义可得,解得;
又因为图象过点,所以可得,即;
易知函数的定义域为,且满足,
所以是偶函数,故A正确,B错误;
由幂函数性质可得,当时,为单调递减,再根据偶函数性质可得在上为增函数;故C错误,D正确.
故选：AD
10、答案：AC
解析：根据二倍角的余弦公式可得,即A正确;
由可得,所以B错误;
因为,所以,
即,所以C正确;
由于
,所以D错误;
故选：AC.
11、答案：ABD
解析：由图可知：,所以,
又因为,所以,
也即,因为,所以,
则,又因为,所以,
则,故选项正确;
令,则,所以函数图象的对称中心为,故选项正确;
令,则,
所以函数图象的对称轴为,所以直线不是图象的一条对称轴,故选项错误;
在同一坐标系内作出函数与的图象,根据函数的图像可知：
点,,,,因为当时,,所以函数的图象与的图象在附近有两个交点,又,所以函数的图象与的图象在附近没有交点,结合图象可知：函数的图象与的图象有3个交点,故选项正确,
故选：.
12、答案：BC
解析：因为是上的单调函数,且对于任意,
所以,其中c为常数,即,;
又因为,所以,
可得,即,解得,所以;
由可得,即;
所以,,即,所以A错误,B正确;
由可知,恒成立;即C正确;
由函数的值域为可知,不一定成立,故D错误.
故选：BC.
（其中c为常数）,结合其他条件即可求得,的解析式.
13、答案：
解析：由题意可得,当时,,此时方程无解;
当时,,解得或（舍）
故答案为：.
14、答案：
解析：因为命题,为假命题,
则命题：,为真命题,
所以在上恒成立,
因为当且仅当,也即时取等号,
所以,
故答案为：.
15、答案：
解析：根据图2可知,动点将圆周九等分,所以,
所以;
则
将代入可得,
即.
故答案为：.
16、答案：1;
解析：令,则,所以为偶函数;
又函数有唯一零点,由对称性可知,解得;
易知函数的图象关于对称,且在上单调递增,,
则不等式即为,由对称性可得.
故答案为：1,.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）;
（2）.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）由可得,所以;
所以;
即可得
（2）由于A,B为锐角,且,由,解得;
即,;
又因为,所以;
此时,
又因为,所以,
则
即.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可知,解得且,所以;
当时,,当且仅当时,等号成立;
当时,,当且仅当时,等号成立;
所以,,
即;
（2）由“”是“”的充分不必要条件,所以集合C是集合B的真子集;
易知,则需满足或,解得或;
所以a的取值范围是.
20、答案：(1)
(2)-1;
解析：（1）,
的图象关于直线对称,则,解得,
, ,则,
由得.
则的单调递增区间为;
（2）, , 和是的两个零点, ,
.
令,在上恰有两个不同的解,.
m的取值范围为.
21、答案：(1)（答案不唯一,是的子集即可）
(2)
解析：（1）令,解得,
故当时,,当时,,当时,;
令,解得,
故当时,,当时,,当时,;
若,解得,
故的解集为,
不妨取,则符合题意,
故和在上的一个区间”为;
（2）对,当时,则,
可得,即,
故,
在上单调递增,且,
故当时,,当时,则,当时,,
由题意可得：当时,,当时,,
注意到开口向上,由二次函数性质可得,
由消去b可得,解得,
故a的取值范围为.
22、答案：(1)
(2)证明见详解
解析：（1）由题意可知：若函数的值域为R,则的值域A包含,
当时,则的值域为R,符合题意;
当时,则,解得;
综上所述：a的取值范围为.
（2）若时,构建,则在定义域内单调递增,
故在定义域内至多只有一个零点,即方程至多只有一个根,不合题意,
可得：若,是关于x的方程的两个不同的解,则（仅为必要条件）,
,整理可得,
,
不妨设,令,则,
在上单调递增,则当时恒成立,
,即,
故当时恒成立,即,
.