湖南省张家界市慈利县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

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一、选择题（每小题3分，共10道小题，合计30分）
1. 在、、、中，分式的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，分母中含有字母，是分式，
所以分式有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，解答此题的关键只要是分母中含有字母的式子即为分式．
2. 用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8B. （－2a2）3＝－6a6C. a4÷a＝a3D. 2a＋3a＝5a2
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项逐个选项判断即可．
【详解】A、a2•a4＝a6，故A错误；
B、（－2a2）3＝－8a6，故B错误；
C、a4÷a＝a3，故C正确；
D、2a＋3a＝5a，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4. 如图，在中，，，延长BC到点D，使，连接AD，则的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 42°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【详解】∵，，
∴．
∵，，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
5. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．
6. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．
【详解】解：分式方程两边同时乘x-4去分母，得
2=3(x-4)-m，
由分式方程的最简公分母是x-4，
∴分式方程的增根是x=4．
把x=4代入2=3(x-4)-m，
∴m=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7. 已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，
由题意得，．
故选：B．
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用运算法则将原式变形得出答案．
【详解】∵，
∴
=．
故选A．
【点睛】考查了同底数幂的除法的逆用运算和幂的乘方的逆用运算，正确将原式变形是解题关键．
9. 如图，等边中，为中点，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ）

A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
【详解】解：如图，

∵是等边三角形，
∴，
又为边中点，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为10．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
10. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于边与的和；④；⑤．其中一定正确的是（ ）
A. ①②⑤B. ①②③④
C. ①②④D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到，从而得到和都是等腰三角形；②同①有，所以；③由②得：的周长为：；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．
【详解】解：，
，
中，与的平分线交于点，
，
，
，
即和都是等腰三角形；
故①正确；
，故②正确；
的周长为：；
故③正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
故④错误；
由题意知，，
∴
故⑤正确，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若分式有意义，则实数取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12. 一种细菌的半径是5×m，用小数把它表示出来是_____．
【答案】0.0005m##0.0005米
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数的科学记数法，可得答案．
【详解】解：5×m，用小数把它表示出来是 0.0005m，
故答案为：0.0005m．
【点睛】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，n是负几小数点向左移动几位．
13. 命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是____________．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】把命题用如果，那么的形式重新改写，交换题设和结论就得到逆命题.
【详解】∵到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
即如果一个点到线段两个端点距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上；
∴它的逆命题是“如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点距离相等”，
故答案为：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等.
【点睛】本题考查了命题和逆命题的关系，解答时，熟记命题的基本结构是解题的关键.
14. 如图，ABC≌DEC，点B的对应点E在线段AB上，∠DCA＝40°，则∠B的度数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB＝∠DCE，都减去∠ACE即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，
∴∠BCE＝∠DCA＝40°．
∴∠B＝∠CEB＝×(180°−40°)＝70°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
15. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴，
∴△ABD的周长，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16. 对于正数，规定，例如，，计算： ___________
【答案】2020
【解析】
【分析】按照定义式规定，发现规律，两两组合相加，剩下，最后再求和即可．
【详解】解：∵，，，…，，
，，…，，
∴，
，
…，
，
∴
=+2020
=2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）12 （2）
【解析】
分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算．
18. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的基本步骤解方程即可．
【详解】解：
方程两边同时乘可得：3+=，
去括号可得：，
移项合并同类项可得：，
解得：，
将代入可得：=7≠0，
∴原方程的解为：
【点睛】本题主要考查分式方程，注意解方程最后要检验，防止无解的情况出现．
19. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．
【答案】；
【解析】
分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：
∵且，
∴且，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
20. 如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论．
【详解】证明：，
，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】（1）甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
（2）乙商店租用服装的费用较少，理由见解析
【解析】
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【小问1详解】
解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
【小问2详解】
解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
22. 如图，四边中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）证明，可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质求出答案．
【小问1详解】
，
，
即：，
在和中，
，
∴，
；
【小问2详解】
∵，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 在中，点E，点F分别是边上的点，且，连接交于点D，．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=AC，根据角的和差得到∠DBC=∠DCB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠ABC=（180°-40°）=70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC=60°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AE=AF，∠A=∠A，∠ABE=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACF，
即∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°-40°）=70°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DBC=∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABE=10°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=50°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
24. 阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可设；
则．
对于任意上述等式成立，
，解得：．
．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
【答案】（1）
（2）满足条件的整数的值为、、、 ．
【解析】
【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出、的值，即可把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）仿照例题，列出方程组，求出、的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据整除运算即可解答．
【小问1详解】
解：由分母，可设
则，
对于任意上述等式成立，
，解得：，
，
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式；
【小问2详解】
解：由分母，可设，
则，
∵对于任意上述等式成立，
，解得：，
，
整数使分式的值为整数，
∴为整数，
满足条件的整数、、、．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键．
25. 已知：为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且时，AD是的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC延长线上时，等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)，理由见解析；(3).
【解析】
【分析】(1)由等边三角形的性质得∠BAC=∠ACD=60°，由等腰三角形的性质得∠CDE=∠E，再根据三角形外角的性质可得∠E=30°，继而可得∠DAC=∠E=30°，得出AD平分∠BAC，由此即可得AD是△ABC的中线；
(2)在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
(3)在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB-BD=AE．
【详解】(1)是，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠E+∠CDE，
∴∠E=30°，
∵AD=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∴∠DAC=∠BAC，
即AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的中线；
(2)，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，
∴∠DCE=120°，△BDH是等边三角形，
∴DH=BD，∠DHB=60°，
∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，
∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠DAC，
∵DH//AC，
∴∠HAD=∠DAC，
∴∠HAD=∠E，
∴△ADH≌△DEC，
∴DH=CE，
∴CE=BD，
∴AB+BD=AC+CE=AE；
(3)AE=AB-BD，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF//BC，
∴∠FED=∠EDB，
∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，
∴△ADF≌△EDF，
∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，
∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，
∴∠DFB=∠FDB，
∴BD=BF，
∵AB-BF=AF，
∴AB-BD=AE.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.