四川省南充市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，已知圆，则圆心与半径分别为，已知直线的方程为，则等内容，欢迎下载使用。
总 分：150 分 考试时间:120 分钟
第 I 卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知圆，则圆心与半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，是圆上的动点，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
6．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ）
B．
C． D．4
7．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点为C，D，则四边形的面积的最小值是（ ）
A．B．4C．D．8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，选漏得2分，多选不得分。
9．已知直线的方程为，则（ ）
A．直线在轴上的截距为2 B．直线在轴上的截距为3
C．直线的倾斜角为锐角 D．过原点且与垂直的直线方程为
10．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的周长是； ②曲线C围成的图形的面积是2π；
③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是
其中正确的结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点F，使得
B．线段长度的取值范围是
C．四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合
D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4
第II卷（非选择题)
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．平行直线与之间的距离为 ．
14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，那么
15．圆关于直线的对称圆的方程为 .
16. 已知点，点，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是________．
三、解答题：本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题 12 分,共70分.
17.（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点是
(1)求直线AC方程（用斜截式表示）；
(2)求AB边上高所在直线方程（用一般式表示）.
18．①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆经过点，且________．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，求过点的圆的切线方程．
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：EF∥平面 ABP；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．直线，圆.
(1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)求直线被圆截得的最短弦长；
(3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.
21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点.
(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；
(2)若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的角最小.
22．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
南充一中高2022届第二学期半期考试
数学试题参考答案
1--8 CDDDDCCD 9BCD 10 AC 11AD 12 BCD
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【详解】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误，
对于B，若，则或者或者相交，故B错误，
对于C，若且，则m与n可能平行、相交或异面，故C错误.
对于D，若，则，又，所以，故D正确，故选：D.
6．【详解】由二面角的平面角的定义知，所以，
由，，得，，又因为，
所以
，所以，即．
7．【详解】因为平面，平面，所以，
又，所以两两垂直，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，因为，
所以，所以该球的半径为2，体积为.
故选：C
8．由题意要使得四边形的面积最小，则需要切线长最小，由切线长公式知，只要使得圆心到直线上的点的距离最小，最小值为圆心到直线的距离，
圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以最小的切线长为，最小值．故选：D．
9．【答案】BCD
【详解】在中，令，得，所以A不正确；
令，得，所以B正确；
因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；
因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.故选：BCD
10．【详解】由圆的方程，可化为，
设圆的圆心为，可得圆心坐标为，半径为，
对于A中，设，即，由，解得，
即的最大值为，所以A正确；对于B中，由，表示原点到圆上点的距离，
又由，则的最大值为，所以的最大值为，
所以B不正确；对于C中，设，即，由，解得，
即的最大值为，所以C正确；
对于D中，设，即，由，解得或，所以D错误.故选：AC.
11【详解】当时，曲线C的方程可化为；
当时，曲线C的方程可化为；
当 时，曲线C的方程可化为；
当时，曲线C的方程可化为；
由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，
即曲线C围成的图形的周长是，故①正确；
曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线C所围成图形的面积为，故②错误；
由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，
即，故③错误；
因为到直线的距离为，所以，
当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，
即，故④正确.故选：AD.
12．【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，设点、，其中，.
对于A选项，若存在点，使得，且，，
，解得，不合乎题意，A错；
对于B选项，设，其中、，
即，即，可得，
，则，所以，，B对；
对于C选项，，
其中，故，
又，故
即，故点F只能与点B重合，C对；
对于D选项，，，
则点到直线的距离为，
，则点到直线的距离为
，
所以，，故，
，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.
故选：BCD.
14．【详解】由于，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故，
15．【详解】的圆心为，关于对称点设为，
则有: ，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.
故答案为：
16. 解：设，则，，
代入得，
化简得，所以，．
由题意，圆与直线相交，圆心到直线的距离，
所以，解得．
三、解答题（共70分）
17.（1）因为，所以 2分
由点斜式可得直线AC方程为，即 5分
（2）因为，所以所求直线斜率为， 7分
又因为所求直线过点，所以由点斜式可得，整理得 10分
18．（1）解：选①：设圆心，则由题意：
∵圆心在直线：上，
∴………………………（ⅰ）
∵圆过点和，
∴，即， 3分
化简得：…………………（ⅱ）
联立（ⅰ）（ⅱ）解得：，
∴圆心，半径为，
∴圆的标准方程为. 6分
选②：如下图：设直线：和圆的交点为，
连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线，
垂足为，连接、.

由题意，圆的圆心为，半径.
∵直线方程为，，
∴直线方程为，故设圆心，
由图知，则，
由解得直线和直线交点，
则，
圆半径，
，，
由得：
，解得：.
∴圆心，半径.
∴圆的标准方程为. 6分
（2）解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为，
如下图，点在圆外，则因为圆的圆心到轴距离，
所以，是圆过点的一条切线. 8分

设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为：
，即.
由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有
，解得：， 10分
∴切线方程为，即. 11分
综上知，过点的圆的切线方程为和 12分
19．（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，．底面，底面，
又，，且平面,
平面，所以是平面的一个法向量．
因为，所以．
又平面，所以平面．
注：也可用证线线平行，取PB的三等分点 6分
（2）因为，，，，，
所以，，， 7分
设平面的法向量为，则由，解得，令，
得平面的一个法向量为． 9分
设直线与平面所成的角为，
则． 12分

20．（1）证明：由题意知可化为，
故解得直线恒过定点. 4分
（2）因为所以圆的圆心为，半径，
如图所示：
由两点距离公式 PC=5 5分 、
根据勾股定理AP=11
∴AB=211 8分
（3）方法1（几何法）
，且为钝角，
当时有最大值，即面积有最大值，
此时同（2），即.
方法2
设圆心到直线的距离为，则，
，
当时有最大值，此时同（2），，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，
，，即.
或者由，，解得，
. 12分
21．（1）因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AE⊥BC，
又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，
又因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE；因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，
又因为BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因为CD⊥AE，AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，
又因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF. 6分
（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，设BC＝4，则，DF＝FC＝1，.
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则
设，则，，
设平面AEG的法向量为，
由，令，故，
设平面ACD的法向量为，
由，令，则，
设平面AEG与平面ACD所成的角为，
则，
当最大，此时最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的角最小. 12分
22．【详解】（1）设点，由题意可得，即，
化简可得，
所以点P的轨迹方程为； 3分
（2）设，由(1)得点满足的方程，
又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设，
所以，
令，则，可视为直线即在y轴上的截距，
的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，
所以，所以，
因此的最大值为； 7分
（3）存在点，使得为定值.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，，则，，
又，，
则
要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值；
当直线的斜率不存在时，，，
由可得，所以，
综上所述，存在点，使得为定值. 12分