所属成套资源：人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义（2份打包，原卷版+含解析）

成套系列资料，整套一键下载

浏览整套资料 (共25份)

人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第34讲拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（2份打包，原卷版+含解析）

展开

这是一份人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第34讲拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（2份打包，原卷版+含解析），文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第34讲拓展三圆锥曲线的方程弦长问题原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第34讲拓展三圆锥曲线的方程弦长问题含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页，欢迎下载使用。
第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （最常用公式，使用频率最高） SKIPIF 1 < 0 知识点二：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且其中一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的A，B两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求弦长 SKIPIF 1 < 0 的值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为椭圆离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知 SKIPIF 1 < 0 ，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）（法一）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为线段MN的中点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去y整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 . （法二）易知直线斜率存在，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去y整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , 又 SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的比是常数 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；(2)设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：因为面内动点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的比是常数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 长轴的顶点，若点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意，若点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2 SKIPIF 1 < 0 ，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)中点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，弦长 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为椭圆C的焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 .所以椭圆C的标准方程 SKIPIF 1 < 0 .（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB线段的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以弦AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】①当直线斜率存在时，设直线方程为： SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值，此时， SKIPIF 1 < 0 .②当直线斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故填： SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，C上的点到其焦点的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求C的方程；(2)若圆 SKIPIF 1 < 0 的切线l与C交于点A，B，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为C上的点到其焦点的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）当l的斜率不存在时，可得 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．当l的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ．因为l与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.(1)求椭圆的 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)3【详解】（1）由题知，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，所以设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在，圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线渐的近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆右顶点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线渐近线距离为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，该圆的半径即为 SKIPIF 1 < 0 ，故圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，经验证，此时圆 SKIPIF 1 < 0 上的切线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，综上：存在圆心在原点的圆 SKIPIF 1 < 0 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式， SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，它的四个顶点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行或重合，此时直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，不合乎题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .联立 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的短轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)记线段 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴椭圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 ；（2）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ；【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且使得 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 恰有两个，动点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)如图，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴为直径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，设切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）设半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由使得 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 恰有两个可得 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .（2）圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 上动点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，连接OA，因为直线 SKIPIF 1 < 0 为切线，故 SKIPIF 1 < 0 ，否则直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，整理得到： SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，同理直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程，并讨论 SKIPIF 1 < 0 的形状与 SKIPIF 1 < 0 值的关系；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.若线段 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【答案】(1)动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；讨论过程见解析(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .讨论 SKIPIF 1 < 0 的形状与 SKIPIF 1 < 0 值的关系如下：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的形状为双曲线；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的形状为焦点位于x轴的椭圆；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的形状为圆；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的形状为焦点位于y轴的椭圆；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为 SKIPIF 1 < 0 .由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，联立 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，平方得 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，平方得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 成立，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 . 【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，求斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且该圆的圆心为原点，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，上顶点为B， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且l与椭圆C相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的离心率；(2)若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标；(3)如果l： SKIPIF 1 < 0 被椭圆C截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 ，求该直线的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，联立解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （3）设直线l与椭圆的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 所以弦长 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的方程： SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点.过点 SKIPIF 1 < 0 且不与坐标轴平行或重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，消去y，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，消去y，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，平方整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2，若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆E交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且与椭圆E交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为-1的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 恰好是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又A，B两点在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 .两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）直线l： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .题型04求双曲线的弦长【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 =1(2)3【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，又因为离心率为2，所以有 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴C的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程联立为： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由双曲线渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可设双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 （2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．∵直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C相交于A，B两点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （*）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，把（*）代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ．满足 SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．由弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，已知C的一条渐近线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求b的值，并证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线C相交于E，F两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，显然成立，若 SKIPIF 1 < 0 时，只需要证明 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，因此只需要证明 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 成立，因此 SKIPIF 1 < 0 （2）联立直线与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，所以由弦长公式得： SKIPIF 1 < 0 ，【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线交于交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线AB的弦长．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ＝4，且焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；渐近线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；（2）由于 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上，根据双曲线的对称性可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率必存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 题型05根据双曲线的弦长求参数【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求双曲线的离心率；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于两点M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）渐近线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，（舍去负值）.（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点是 SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的另一交点是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，故渐近线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，又渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 斜率是1，又直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，(1)求双曲线C的离心率e(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与C相交于不同的两点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线C的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）可设双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故可设双曲线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，又已知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由题意得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 被双曲线C截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 双曲线离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所求双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．题型06求抛物线焦点弦【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 横坐标为4，求弦 SKIPIF 1 < 0 的长度．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)10.【详解】（1）因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，而线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 横坐标为4，则有 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 是过抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的两个交点，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以弦 SKIPIF 1 < 0 的长度为10.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知：抛物线 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交该抛物线于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求：（1） SKIPIF 1 < 0 的值；（2）弦长 SKIPIF 1 < 0 【答案】（1）2；（2）8.【详解】解：（1）由准线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （2）易得直线 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以：弦长 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程是 SKIPIF 1 < 0 是抛物线焦点．(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为2，且与抛物线相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1)焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；(2)5【详解】（1）抛物线准线为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线的焦点是 SKIPIF 1 < 0 故抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 （2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 【变式3】（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在原点，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 的顶点在原点，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .题型07求抛物线中非焦点弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点M、N，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为24，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）∵抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ∴其焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得 SKIPIF 1 < 0 ．根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的离心率 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 （2）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立l与 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2.(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 为切点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时.求 SKIPIF 1 < 0 .【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点的抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，②此时①可化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为方程②的两根，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令点 SKIPIF 1 < 0 ，由②知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时取等号.此时，. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 由（*）得， SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)16【详解】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线C的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在坐标原点，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 轴，设抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以拋物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）因为直线MN过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1，所以直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消元整理得， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上第一象限的一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为2．(1)求抛物线C的方程和P点坐标；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：由题意得：由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由题意可设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 因为∠APB的角平分线过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 轴所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．题型08根据抛物线弦长求参数【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大1.(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，因为动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）根据题意，可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，记抛物线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；(2)若抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点， SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.【答案】(1)曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，它是焦点为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的右支.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的一支，由双曲线的定义有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）解：由（1）可知曲线 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角不能为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入到 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）根据抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线方程是 SKIPIF 1 < 0 （2）抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不可能为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过 SKIPIF 1 < 0 引抛物线的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求此时抛物线的方程．【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）证明：由题意设 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因此直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 ．②由①、②得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的横坐标成等差数列；（2）由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时，将其代入①、②并整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．由弦长公式得 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．