人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第36讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（2份打包，原卷版+含解析）

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第11讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）一、知识点归纳在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题二、题型精讲题型01圆锥曲线中的定点问题【典例1】（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否经过定点并说明理由．【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 .椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 并且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)斜率存在且不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（异于点 SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 .则直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出该定点的坐标．【典例4】（2023春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．【变式1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 经过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心，C的左焦点F到圆 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求C的标准方程．(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与C相交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离等于 SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.(2)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【变式3】（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上， SKIPIF 1 < 0 的三个顶点都在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 的重心为抛物线的焦点，若 SKIPIF 1 < 0 所在直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．试说明动直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点．题型02圆锥曲线中的定值问题【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，讨论：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.  【典例2】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有一个共点，且 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【典例3】（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作射线 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 位于直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧）使得 SKIPIF 1 < 0 ，设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的两条射线分别与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，请判断直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.【变式1】（2023春·湖南湘潭·高二校联考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程(2)设曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .请判断 SKIPIF 1 < 0 的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.【变式2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线的标准方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 与双曲线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是定值.【变式3】（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点，过点F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于A，B两点 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作两条斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知 SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值?若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由.题型03圆锥曲线中的定直线问题【典例1】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【典例3】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线 SKIPIF 1 < 0 给出如下三个条件： ①焦点为 SKIPIF 1 < 0 ②准线为 SKIPIF 1 < 0 ③与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 (2)已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中抛物线的阿基米德三角形，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 在弦 SKIPIF 1 < 0 两端点处的两条切线的交点，若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，试判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在一条定直线上 SKIPIF 1 < 0 如果是，求出定直线方程 SKIPIF 1 < 0 如果不是，请说明理由．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的左支上不同于 SKIPIF 1 < 0 的动点，当 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点恰好在 SKIPIF 1 < 0 轴上．(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左支上运动时，点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上．【变式3】（2023春·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考期中）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .（1）求抛物线的方程；（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在定直线上.