数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置当堂检测题

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知识点01：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆相交；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆外切；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆外离；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆内切；
⑤当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆内含.
2.2代数法
设 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 消去“ SKIPIF 1 < 0 ”得到关于“ SKIPIF 1 < 0 ”的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ，求出其 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与设设 SKIPIF 1 < 0 相交
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与设设 SKIPIF 1 < 0 相切（内切或外切）
③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与设设 SKIPIF 1 < 0 相离（内含或外离）
【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O： SKIPIF 1 < 0 与圆C: SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】C
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 改写成标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =3，所以两圆外切，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
知识点02：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0
联立作差得到： SKIPIF 1 < 0 即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
知识点03：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离 SKIPIF 1 < 0 求解
【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为5；
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3，
所以两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
知识点04：圆系方程
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的同心圆圆系方程： SKIPIF 1 < 0 ；
与圆 SKIPIF 1 < 0 同心圆的圆系方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
过直线与圆 SKIPIF 1 < 0 交点的圆系方程为
SKIPIF 1 < 0
过两圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交点的圆系方程为
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，此时圆系不含圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ）特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的交点，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆的方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
把圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型01 判断圆与圆的位置关系
【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O： SKIPIF 1 < 0 与圆C: SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】C
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 改写成标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =3，所以两圆外切，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【详解】两圆化为标准形式，可得 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可知半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆相交，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
C．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为2
D．若 SKIPIF 1 < 0 分别为圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为10
【答案】ACD
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3.
因为两个圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切， SKIPIF 1 < 0 正确.
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 不相切， SKIPIF 1 < 0 错误.
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.
若 SKIPIF 1 < 0 分别为圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：ACD
【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】B
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故两圆的圆心分别为： SKIPIF 1 < 0 ，设两圆半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆内切.
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．相交D．外离
【答案】C
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是相交.
故选: C.
题型02求两圆交点坐标
【典例1】（2022·高二课前预习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以两圆的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:C
【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两圆相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则线段AB的垂直平分线即为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 中得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以交点坐标为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2022·高二课时练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点坐标为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】联立两个圆的方程： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程带入 SKIPIF 1 < 0 ，先得到
SKIPIF 1 < 0 ，在联立 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，对应的 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，于是得到两圆交点： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型03由圆的位置关系确定参数
【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 恰有三条公切线，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：A
【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一条公切线，则 SKIPIF 1 < 0 ______；此公切线的方程为______
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，

由题意得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相内切，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以切点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求公切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·高二课时练习）若两圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相交，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
SKIPIF 1 < 0 两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两圆内切， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值， SKIPIF 1 < 0 的最小值为2．
故答案为：2．
题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图所示：
过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 为端点的线段的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆心都在坐标原点，半径分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ．若圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，且与圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均内切，则圆C的标准方程为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：依题意可知圆心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为3，圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）圆 SKIPIF 1 < 0
化为标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0
①若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，即直线为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
②若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
由题意知，圆心 SKIPIF 1 < 0 到已知直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于半径2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0
综上，所求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）依题意，设 SKIPIF 1 < 0
又已知圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
由两圆外切，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆D的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）经过点 SKIPIF 1 < 0 以及圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设经过点 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故经过点 SKIPIF 1 < 0 以及圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
又圆M的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆N的圆心 SKIPIF 1 < 0
所以两圆圆心连线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
解方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线AB的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，圆M的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
弦AB的长为 SKIPIF 1 < 0 ，则所求圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型05相交圆的公共弦方程
【典例1】（2023·河南·统考二模）若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦 SKIPIF 1 < 0 的长为1，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】将两圆方程相减可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且公共弦 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
可得点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离，
依圆的知识可知，四点 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
原题意等价于 SKIPIF 1 < 0 取到最小值，
当直线 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小.
SKIPIF 1 < 0 的直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆的方程相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在的直线方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型06两圆的公共弦长
【典例1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，若两圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
又圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1) SKIPIF 1 < 0 取何值时两圆外切？
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求两圆的公共弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和公共弦的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)两圆的公共弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，两圆的公共弦的长为 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，圆 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为 SKIPIF 1 < 0
两圆一般方程相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的公共弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
圆 SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
故两圆的公共弦的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于圆 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为两圆有两个公共点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
将两圆方程作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
满足 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
若两圆相交，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又两圆相交弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则弦长 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型07圆的公切线条数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
【典例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为a，
所以圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
【典例3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公共的切线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 恰好有4条公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 恰好有4条公切线，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 外离，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3条公切线，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．14B．28C．9D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3条公切线，
所以两圆外切，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 恰有三条公切线，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．－6
【答案】A
【详解】由已知可得，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则同时与圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．0条
【答案】B
【详解】由圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
由圆 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.
故选：B.
【变式4】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】由圆 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
由圆 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆相交，公切线条数为2.
故选：C.
题型08圆的公切线方程
【典例1】（多选）（2023·高二课时练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0B．3x－4y＝0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径 SKIPIF 1 < 0 ．圆N的圆心为N（－2，－1），半径 SKIPIF 1 < 0 ．圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得k＝0或 SKIPIF 1 < 0 ，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而 SKIPIF 1 < 0 ，设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：ACD．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，则满足题意的一个 SKIPIF 1 < 0 的取值为____；此时公切线的方程为__________.
【答案】 5（答案不唯一） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （答案与前空的答案有关联）
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为5.
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可取 SKIPIF 1 < 0 (答案不唯一.满 SKIPIF 1 < 0 即可).
此时 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为5， SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为5，
所以可设公切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且与两圆圆心所在的直线平行，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，公切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: 5； SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）写出与圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 都相切的一条直线的方程___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （三条中任写一条即可）
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆外切.
过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由图可知，直线 SKIPIF 1 < 0 是两圆的公切线，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
设两圆的一条公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的一条公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 两式相减并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （三条中任写一条即可）
【变式1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相内切，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 可化为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相内切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式2】（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 都相切的一条直线的方程___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 均可以）
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1；圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆外切，
如图，有三条切线 SKIPIF 1 < 0 ，易得切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，设其关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 均可以）
题型09圆的公切线长
【典例1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【答案】(1)两圆相交， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）圆A： SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
两圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，
∵A到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）设公切线 SKIPIF 1 < 0 切圆A、圆 SKIPIF 1 < 0 的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2022·高二课时练习）求圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，8
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设内公切线与连心线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上且 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设内公切线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以内公切线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
内公切线的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】D
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
两圆心距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 外离，
故选：D.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相减得直线 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
3．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）与两圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切的直线有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心距 SKIPIF 1 < 0 ,
所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
4．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意知，圆心 SKIPIF 1 < 0 与圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
5．（2023秋·高一单元测试）已知点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】切线长 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，切线长取得最小值.当 SKIPIF 1 < 0 共线且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，
SKIPIF 1 < 0 最小，由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 min SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .

6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，M，N分别为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】如图所示，由圆 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 共线时，取得最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .

故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
8．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由圆的知识可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共圆，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆的方程相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
二、多选题
9．（2023秋·高一单元测试）点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．两个圆心所在的直线斜率为 SKIPIF 1 < 0
D．两个圆公共弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】根据题意，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
则两个圆心所在直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，
故选：AC.
10．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
C．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为2
D．若 SKIPIF 1 < 0 分别为圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为10
【答案】ACD
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3.
因为两个圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切， SKIPIF 1 < 0 正确.
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 不相切， SKIPIF 1 < 0 错误.
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.
若 SKIPIF 1 < 0 分别为圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：ACD
三、填空题
11．（2023秋·高一单元测试）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两圆内切， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值， SKIPIF 1 < 0 的最小值为2．
故答案为：2．
12．（2023·天津·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，此时直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截的弦长为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
即圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故所截弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点A、B的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆 SKIPIF 1 < 0 的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】过C作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是两圆的内公切线，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 为两圆的外公切线，
由切线长知识可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是线段PQ的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上任一点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段PQ的中点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .

14．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0
(1)求证：圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 化成标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心距 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.
（2）两圆方程相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆公共弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入直线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
B能力提升
1．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若圆C上至少存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】圆C： SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
∵圆C上至少存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆O： SKIPIF 1 < 0 位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O： SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．

2．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知动直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【详解】由题意可知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
则当动直线经过圆心，即点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与圆心 SKIPIF 1 < 0 重合时，如图1，
此时弦长 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则动直线 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上做切线运动，
所以当动直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，且点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，
此时弦长 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
3．（2023·北京通州·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，P为圆 SKIPIF 1 < 0 任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且A为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A为圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 任意一点，
设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为M，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆O与圆M相离，
所以 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面 SKIPIF 1 < 0 内的动点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时点 SKIPIF 1 < 0 始终不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的切线，又动直线始终没有经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在该圆内，
因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
C综合素养
1．（2023春·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 .证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当 SKIPIF 1 < 0 变化时，点 SKIPIF 1 < 0 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)Q，A，B，C四点共圆的证明见解析，点Q恒在直线 SKIPIF 1 < 0 上，理由见解析
【详解】（1）证明：如图所示，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，化成标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，定点到圆心距离为1，即 SKIPIF 1 < 0 在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线l不过圆心C，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）依题意有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，与圆C的方程 SKIPIF 1 < 0 联立，
消去二次项得∶ SKIPIF 1 < 0 ，即为直线l的方程，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以当m变化时，点Q恒在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0
(1)若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，并求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程（用含有 SKIPIF 1 < 0 的方程表示）
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相减得，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，舍去， SKIPIF 1 < 0 满足要去，
则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023·上海·高二专题练习）已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数．
(1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系；
(2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值；
(3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)相离
(2)m＝3，λ＝2
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当a＝3时，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝n＝3时，直线AB方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆心到直线距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴直线与圆相离；
（2）设点P（x，y），则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵PA＝λPO，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
代入得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵P为圆C上任意一点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2；
（3）直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，N（x，y），
∵点M是线段PN的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
又M，N都在圆C：（x+1）2+y2＝a上， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵关于x，y的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆有公共点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又P为线段AB上的任意一点，∴ SKIPIF 1 < 0 对所有 SKIPIF 1 < 0 成立．
而 SKIPIF 1 < 0 在[0，2]上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
根据题意可知线段AB与圆C无公共点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．课程标准
学习目标
①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。
②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。
通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含