人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步达标检测题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第02讲112空间向量的数量积运算原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第02讲112空间向量的数量积运算含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。


知识点01：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，在空间任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则么 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记 SKIPIF 1 < 0 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围： SKIPIF 1 < 0 ．
特别地，（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 SKIPIF 1 < 0 与任何向量 SKIPIF 1 < 0 都是共线的，即 SKIPIF 1 < 0 ．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量 SKIPIF 1 < 0 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)向量夹角的范围是0<< SKIPIF 1 < 0 >< SKIPIF 1 < 0 ，异面直线的夹角 SKIPIF 1 < 0 的范围是0< SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 ，
(2)当两向量的夹角为锐角时， SKIPIF 1 < 0 ；当两向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时， SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】根据向量的夹角公式， SKIPIF 1 < 0 ，由于向量夹角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
知识点02：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的数量积，记作 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式 SKIPIF 1 < 0 可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式 SKIPIF 1 < 0 可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量 SKIPIF 1 < 0 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 SKIPIF 1 < 0 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 SKIPIF 1 < 0 共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．类似地，可以将向量 SKIPIF 1 < 0 向直线 SKIPIF 1 < 0 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 投影，就是分别由向量 SKIPIF 1 < 0 的起点 SKIPIF 1 < 0 和终点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．这时，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角就是向量 SKIPIF 1 < 0 所在直线与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的数量积等于 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积或等于 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积.
5、数量积的运算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 (交换律)．
（3） SKIPIF 1 < 0 (分配律).
【即学即练2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基 SKIPIF 1 < 0 下，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
知识点03：空间向量数量积的性质
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向，则 SKIPIF 1 < 0 ．特别地， SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 .
题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，以顶点 SKIPIF 1 < 0 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.25
【详解】如图所示，正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为M是棱CD的中点，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1
【详解】由空间向量数量积的定义， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1
题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影数量的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知E为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影数量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上投影的数量的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.125
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
则 SKIPIF 1 < 0 平面PAB，又 SKIPIF 1 < 0 平面PAB，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
因M是AC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，M是空间中任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 取最小值0.此时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
题型03利用数量积求夹角
【典例1】（2023春·高二课时练习）空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，以顶点 SKIPIF 1 < 0 为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正四面体 SKIPIF 1 < 0 (所有棱长均相等)的棱长为1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是正四面体 SKIPIF 1 < 0 中各棱的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试采用向量法解决下列问题：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的模长；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)90°.
【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为正四面体所有棱长为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为90°.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角都为 SKIPIF 1 < 0 求：
（1） SKIPIF 1 < 0 的长；
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以对角线 SKIPIF 1 < 0 的长为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题型04空间向量的投影（投影向量）
【典例1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量是
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量等于____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型05空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两的夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该长方体的外接球的表面积为________；记 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数）的最小值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
.【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以该长方体的外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该长方体的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同或与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，
由平面向量基本定理可得 SKIPIF 1 < 0 必与 SKIPIF 1 < 0 共面，
在平面 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以其最小值为点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即线段 SKIPIF 1 < 0 的长度是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
题型06利用数量积证明垂直问题
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·高一课时练习）如图，棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.求证：

(1) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）正方体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形ABCD是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以， SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为AB，BC中点，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）正方体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
又F、M分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .①
正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .②
由①②及 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)60°
(2)证明见解析
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由于正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为a，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°．
（2）证明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值）
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面边长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是长方体表面上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 为侧面 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最大值为体对角线的一半 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球 SKIPIF 1 < 0 是棱长为1的正四面体的内切球， SKIPIF 1 < 0 为球 SKIPIF 1 < 0 的一条直径，点 SKIPIF 1 < 0 为正四面体表面上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，设四面体内切球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
内切球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为球O的一条直径，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点 SKIPIF 1 < 0 在正方体的棱上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】C
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
设外接球球心为O，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
由于点M在正方体的棱上运动,故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
【答案】D
【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，
SKIPIF 1 < 0
故选：D
2．（2023春·高二课时练习）平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】如图，

由题知， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，棱长为1，且D为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
如图，因为D为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正四面体得性质， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°，同理 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5．（2023春·高二课时练习）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 两两夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，其模均为1，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，由棱柱性质，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
7．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【答案】B
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
二、多选题
9．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
10．（2023春·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ；
B． SKIPIF 1 < 0 ；
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ；
D．在面对角线中与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 的有8条
【答案】ABD
【详解】如图所示：
A. 由向量的加法运算得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
B. 正方体的性质易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
C. 因为 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
D. 由正方体的性质得过 SKIPIF 1 < 0 的面对角线与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角都为 SKIPIF 1 < 0 ，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD
三、填空题
11．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】
向量的拆分， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定 SKIPIF 1 < 0 在直线AB上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足， SKIPIF 1 < 0 ，A为垂足， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023·全国·高一专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 2B． SKIPIF 1 < 0 3C． SKIPIF 1 < 0 1D．0
【答案】A
【详解】由题意可得正方体外接球的直径 SKIPIF 1 < 0 ，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选︰A．
2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ，沿对角线 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 折起，当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，则B与D之间距离为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
3．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试用向量 SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)确定 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)确定 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量，并求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为：
SKIPIF 1 < 0 ，
由数量积的几何意义可得： SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 各棱的棱长是1，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（多选）（2023春·高二课时练习）在三维空间中，定义向量的外积： SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；② SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角）.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线D． SKIPIF 1 < 0 与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【详解】设正方体棱长为1，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 对；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 构成右手系知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相反，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 错；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
再由右手系知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 对；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
正方体体积为1，所以 SKIPIF 1 < 0 对．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中， SKIPIF 1 < 0 是一个定点， SKIPIF 1 < 0 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足题意的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 在与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点 SKIPIF 1 < 0 在与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共两个平面；
故点 SKIPIF 1 < 0 在与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的平面上，共两个平面.
SKIPIF 1 < 0 个两两平行的平面共有 SKIPIF 1 < 0 个交点，故满足条件的 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 个.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．
【答案】10
【详解】作母线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共面， SKIPIF 1 < 0 是圆柱的一个截面，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
矩形 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 点轨迹，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：10.
5．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 的值为______时，能使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】1
【详解】解：如图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时，能使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1
课程标准
学习目标
①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.