浙江省杭州市绿城育华学校2023—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市绿城育华学校2023—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷，共26页。
A．购买两张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放新闻联播
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．三角形三个内角和为180°
2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向上平移一个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣3x2+1B．y＝﹣3（x+1）2
C．y＝﹣3x2﹣1D．y＝﹣3（x﹣1）2
3．（3分）已知⊙O的半径为6，点A为平面内一点，OA＝8，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定
4．（3分）已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），则必经过点（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A．18πB．27πC．36πD．54π
6．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A．B．C．3﹣D．﹣1
7．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（ ）
A．5米B．10米C．1米D．2米
8．（3分）若点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2x+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
A．2B．4C．8D．10
10．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2B．若y1＞y2，则t≤﹣1
C．若t≥﹣1，则y1＜y2D．若t≥1，则y1＜y2
二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）已知线段a＝6，线段b＝24，则线段a与线段b的比例中项为 ．
12．（4分）如图，甲、乙、丙3人站在5×5网格中的三个格子中，小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率是 ．
13．（4分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ．
14．（4分）已知实数a，b满足a+b2＝1，则代数式a2﹣4b2+11的最小值是 ．
15．（4分）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
16．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三.解答题（共8题，6+6+6+8+8+10+10+12＝66分）
17．（6分）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
19．（6分）公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地．
（1）南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ．
（2）若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率．
20．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一动点，AG，DC的延长线交于点P．连接BC．
（1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长．
21．（8分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
22．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是弧ABC的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．
（1）求证：∠CBP＝∠PBD；
（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．
23．（10分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
24．（12分）已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x﹣h）2﹣2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买两张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放新闻联播
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．三角形三个内角和为180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、三角形三个内角和为180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向上平移一个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣3x2+1B．y＝﹣3（x+1）2
C．y＝﹣3x2﹣1D．y＝﹣3（x﹣1）2
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向上平移一个单位，得到的抛物线是：y＝﹣3x2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．（3分）已知⊙O的半径为6，点A为平面内一点，OA＝8，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定
【分析】由于点A到圆心的距离8大于圆的半径6，从而可判断点A在⊙O外．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8，
∴点A到圆心的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
4．（3分）已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），则必经过点（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】利用待定系数法求得解析式，然后分别代入x＝1、x＝2求得y的值即可判断．
【解答】解：∵函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），
∴a＝2，
∴y＝2x2
当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝8，
故函数图象必经过点（1，2），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，求得函数的解析式是解题的关键．
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A．18πB．27πC．36πD．54π
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意：＝6π，
∴r＝9，
∴S扇形＝＝27π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A．B．C．3﹣D．﹣1
【分析】根据黄金分割点的定义，根据AP＞BP情况，AP＝AB叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出PB的长．
【解答】解：当AP＞BP时，
AP＝×2＝﹣1，
PB＝2﹣（）＝3﹣，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
7．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（ ）
A．5米B．10米C．1米D．2米
【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论．
【解答】解：h＝10t﹣5t2＝﹣5（t﹣1）2+5，
∵﹣5＜0，
∴当t＝1时，h有最大值，最大值是5，
∴球距离地面的最大高度是5m，
∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是10m，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用二次函数的性质求最值．
8．（3分）若点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2x+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
【分析】根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+b，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝1，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，B（﹣1，y2）与（3，y2）关于对称轴对称，
∵1＜3＜4，
∴y1＜y2＜y3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，熟知二次函数的对称性及增减性是解题的关键．
9．（3分）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
A．2B．4C．8D．10
【分析】观察图形延长CO交AB于E点，由OC与AB垂直，根据垂径定理得到E为AB的中点，连接OB，构造直角三角形OBE，然后由PB，OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而得出AB的长．
【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，
∴E为AB的中点，CE⊥AB，
由题意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8，
DE＝×（8×2﹣4）＝×12＝6，
OE＝6﹣4＝2，
在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2，
代入可求得BE＝2，
∴AB＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接OB作出辅助线是本题的突破点．
10．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2B．若y1＞y2，则t≤﹣1
C．若t≥﹣1，则y1＜y2D．若t≥1，则y1＜y2
【分析】A．当t＝1时，1＜x1＜2，3＜x2＜4，则点A、B均为对称轴的右侧，故y1＜y2，即可求解；
B．若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解；
C．当t＝﹣1时，此时，y1＞0，y2＜0，即可求解；
D．若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解．
【解答】解：由y＝mx2﹣2mx+1（m为常数，m＞0）知，其开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
当x＝0时，y＝1，且x1＜x2，
A．当t＝1时，1＜x1＜2，3＜x2＜4，
则点A、B均为对称轴的右侧，故y1＜y2，
故A错误，不符合题意；
B．若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧，
当A、B在对称轴异侧时，则1﹣t﹣1≤t+2﹣1，
解得：t≤﹣；
当A、B在对称轴左侧时，
则t+3≤1，
解得：t≤﹣2，
则t≤﹣2，
故B错误，不符合题意；
C．当t＝﹣1时，
则﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
此时，y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
过C错误，不符合题意；
D．当t＝1时，1＜x1＜2，3＜x2＜4，
则点A、B均为对称轴的右侧，故y1＜y2，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，确定点A、B和对称轴的位置关系是解题的难点，题目难度较大．
二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）已知线段a＝6，线段b＝24，则线段a与线段b的比例中项为 12 ．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：设比例中项为线段c，
由题意得，c2＝ab，
∵a＝6，b＝24，
∴c2＝144，
∴c＝12或﹣12（舍去），
∴线段a与线段b的比例中项为12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
12．（4分）如图，甲、乙、丙3人站在5×5网格中的三个格子中，小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率是 ．
【分析】由题意得空格有5×5﹣3＝22（个），则小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的空格有6个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：甲、乙、丙3人站在5×6网格中的三个格子中，空格有：5×5﹣3＝22（个），
则小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的空格有4个，
∴小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率为＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，由题意得出与图中3人均不在同一行或同一列的空格的个数是解题的关键．
13．（4分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据两图象交点横坐标求解．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．
14．（4分）已知实数a，b满足a+b2＝1，则代数式a2﹣4b2+11的最小值是 3 ．
【分析】由题意得b2＝1﹣a，代入代数式a2﹣4b2+11可得（a+2）2+3，由此可知代数式a2﹣4b2+11的最小值是3．
【解答】解：∵a+b2＝1，
∴b2＝1﹣a，a≤1，
∴a2﹣4b2+11
＝a2﹣4（1﹣a）+11
＝a2+4a﹣4+11
＝a2+4a+7
＝（a+2）2+3，
∵a≤1，
∴当a＝﹣2时，代数式a2﹣4b2+11有最小值等于3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
15．（4分）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 72°或108° ．
【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数．
【解答】解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为2：3两部分，
则∠AOB＝×360°＝144°；
∴∠ACB＝∠AOB＝72°，
∠ADB＝180°﹣∠ACB＝108°；
故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质；需注意的是在圆中，一条弦（非直径）所对的圆周角应该有两种情况，不要漏解．
16．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 2 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ﹣1 ．
【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；
【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为2，﹣1．
【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三.解答题（共8题，6+6+6+8+8+10+10+12＝66分）
17．（6分）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
【分析】（1）利用设k法进行计算，即可解答；
（2）利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵，
∴设b＝2k，a＝3k，
∴＝＝＝﹣；
（2）设＝k，
∴a＝2k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝22，
∴2k+4k+5k＝22，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，c＝10，
∴3a﹣b+2c＝12﹣8+20＝4+20＝24．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
【分析】（1）将（﹣3，0）和（2，﹣5）代入函数解析式即可．
（2）由（1）中的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）将（﹣3，0）和（2，﹣5）代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）因为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
所以该二次函数的顶点坐标为（﹣1，4）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
19．（6分）公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地．
（1）南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ．
（2）若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）游览的顺序有西安，吐鲁番，喀什；西安，喀什，吐鲁番，；喀什，吐鲁番，西安；喀什，西安，吐鲁番；吐鲁番，喀什，西安；吐鲁番，西安，喀什这6种等可能结果，其中南南一家最后一站去喀什的有2种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是，
故答案为：；
（2）南南一家游览的顺序有西安，吐鲁番，喀什；西安，喀什，吐鲁番，；喀什，吐鲁番，西安；喀什，西安，吐鲁番；吐鲁番，喀什，西安；吐鲁番，西安，喀什这6种等可能结果，其中南南一家最后一站去喀什的有2种结果，
所以南南一家最后一站去喀什的概率为＝．
【点评】此题主要考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
20．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一动点，AG，DC的延长线交于点P．连接BC．
（1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝4，∠B＝60°，求CD的长．
【分析】（1）利用圆周角定理即可解决问题；
（2）连接OC．证明△OBC是等边三角形，解Rt△OEC即可解决问题．
【解答】解：（1）连接OD．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴＝，
∵∠DGF＝115°，
∴∠AGD＝65°，
∴∠AOD＝2∠AGD＝130°，∠DOB＝2∠DCB，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴130°+2∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝25°；
（2）连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴EC＝OC•sin60°＝，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC，
∴CD＝2EC＝2．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．（8分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，，
解得x＝5或x＝15，
∵15﹣5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
22．（10分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，点P是弧ABC的中点，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，连接BP．
（1）求证：∠CBP＝∠PBD；
（2）过P作PG⊥BC交BC于G点，若AB＝6，BD＝4，求BC的长．
【分析】（1）连接PC，根据圆内接四边形性质可得∠DBP＝∠ACP，等量代换可证明∠CBP＝∠PBD；
（2）连接AP，利用条件证明△PBD≌△PBG，△PCG≌△PAD，根据BC＝CG+BG即可计算出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接PC，
∵点P是弧ABC的中点，
∴∠ACP＝∠PBC（等弧所对的圆周角相等），
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠DBP＝∠ACP，
∴∠CBP＝∠PBD；
（2）解：连接AP，
在△PDB和△PGB中，
，
∴△PDB≌△PGB（AAS），
∴BD＝BG＝4，PD＝PG，
∵点P是弧ABC的中点，
∴PC＝PA，
在Rt△PCG和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PCG≌Rt△PAD（HL），
∴CG＝AD＝AB+BD＝6+4＝10，
∴BC＝BG+CG＝4+10＝14．
【点评】本题考查了圆的内接四边形性质以及有关圆周角性质，熟练掌握圆周角性质是解答本题的关键．
23．（10分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
【分析】（1）AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，根据垂径定理得等腰三角形PCE，∠APC＝∠APE，对顶角相等，可得∠APC＝∠BPD，∠CPD是的“美丽角”．
（2））利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，根据弧的度数α，求出圆周角的度数，外角等于不相邻的两个内角的和，可求∠CPD的度数．
（3）连接OC，OD，利用勾股定理列方程，求CD，CP，CE．
【解答】解：（1）∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”．
（2）∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°﹣∠CED＝90°﹣α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°﹣∠APC﹣∠BPD
＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α．
（3）
如图，连接OC，OD，
∵的美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝0C＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE﹣PE＝7﹣x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
+（7﹣x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
＝PE＝3或4，
＝PC＝6或8．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
24．（12分）已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x﹣h）2﹣2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据题意得：b＝﹣4h，c＝2h2﹣2，b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分两种情况：①当k＞0时，（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x﹣m），联立方程组求解可得出C（m+k，k2），根据图象可知：当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，过点C作CD⊥x轴，利用勾股定理建立方程求解即可；（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x﹣m﹣k），联立方程组求解可得出C（m+k，﹣k2），与抛物线的顶点重合，故AC＝BC，过点C作 CD⊥x轴，再利用勾股定理建立方程求解即可；②当k＜0时，同理可求得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣6x+4．
（2）把y＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y＝2x2﹣4hx+2h2﹣2，
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2，
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x﹣m），
联立，
解得：，，
∴C（m+k，k2），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝k2，BD＝m+k﹣（m+k）＝k，
BC2＝CD2+BD2＝（k2）2+（k）2＝k4+k2，
∵AB＝m+k﹣m＝k，AB＝BC，
∴k2＝k4+k2，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x﹣m﹣k），
联立，
∴，，
∴C（m+k，﹣k2），
∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（m+k，﹣k2），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝k2，BD＝m+k﹣m＝k，
∴BC2＝CD2+BD2＝（k2）2+（k）2＝k4+k2，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝k4+k2，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝﹣或﹣；
∴综上所述，k＝±或±．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数图象的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想是解题的关键．