2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学高二上学期开学测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学高二上学期开学测试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点与关于坐标原点对称，则等于（ ）
A．5B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案.
【详解】由与关于坐标原点对称，则，
所以.
故选：B
2．已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距.
【详解】设椭圆方程为，依题意可知，，
解得，所以椭圆的焦距为.
故选：A
3．若直线与直线垂直，则m的值是（ ）．
A．B．C．2或D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直，则计算即可.
【详解】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：A.
4．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆的半径为，乙：该圆经过点，丙：该圆的圆心为，丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】通过假设的方法判断出错误的同学.
【详解】解：设，，，
假设甲同学的说法错误，
则此圆的圆心为，且过， ，
此时，，与同圆的半径相等矛盾，
故假设错误，所以甲的说法正确；
假设乙的说法错误，则此圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为：，
代入点，等式成立，
所以圆经过点，
故假设正确，所以乙的说法错误；
假设丙的说法错误，
即此圆的半径为，经过点，，
则，
故假设错误，所以丙的说法正确；
假设丁的说法错误，
即该圆的圆心为，半径为，且经过点，
则，
故假设错误，所以丁的说法正确；
综上所述，说法错误的乙同学.
故选：B.
5．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．
【详解】由题意，又，故解得．
∴渐近线方程为，
故选：C．
6．已知椭圆:的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等得到是等边三角形，得到与和的关系，得到离心率的值.
【详解】
连接，，
由题意得，，
易知，
，，
，
，，
，
是等边三角形，，
，，
.
故选：C
7．已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（ ）
A．l与圆C相交，且B．l与圆C相切，且
C．l与圆C相离，且D．l与圆C相离，且
【答案】D
【分析】由题可得，根据点到直线的距离公式可得，利用圆的性质可得过点A的圆的最短弦与垂直，进而即得.
【详解】因为点是圆内一点，
所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相离，
由圆的性质可知当时，过点A的圆的弦最短，此时，
所以.
故选：D.
8．已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由和可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解
【详解】由题意，
由双曲线定义可知，
又
又
又
故双曲线的实轴长为
故选：B
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直
D．过点且斜率为1的直线方程可表示为：
【答案】ABD
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由两直线的位置关系即可判断BC，由直线的点斜式方程即可判断D.
【详解】直线倾斜角的范围是：，
当时，倾斜角增大时，斜率也增大；
当时，斜率不存在；
当时，倾斜角增大时，斜率也增大；故A错误；
若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故B错误；
若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故C正确；
过点且斜率为1的直线方程为，而中，故D错误；
故选：ABD
10．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m判断B.
【详解】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
11．已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中.直线：与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】AB
【分析】选项A. 由椭圆的定义可判断；选项B. 由点差法可求解判断；选项C. AB的最小值为通径,从而可得，可判断；选定D. ，,求出的范围，从而建立不等式求出离心率，可判断.
【详解】由直线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.
，所以A正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M
有，，所以
由作差得∶，所以
则有，所以B正确；
由过焦点的弦中通径最短，则AB的最小值为通径，则有，
即，解得a=2c，所以，C错误.
，
所以，
则有，可得，所以D错误；
故选：AB
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义、过交点的弦的性质以及点差法的应用和与向量的应用，解答本题的关键是由，，所以，从而得出其离心率的范围，以及过焦点的弦中通径最小，属于中档题.
12．过点的直线与圆：相交于不同的两点，，弦的中点为，曲线为点组成的集合，则（ ）
A．的最小值为
B．可能为等腰直角三角形
C．曲线的方程为
D．曲线与圆没有公共点
【答案】BCD
【分析】A.由时，弦长取得最小值求解判断；B.由A知：当时，得到判断；C.设，由求解判断；D.两圆的位置关系判断.
【详解】解：因为，所以点在圆：的内部，
当时，弦长取得最小值，最小值为，故A错误；
由A知：当时，，此时为等腰直角三角形，故B正确；
设，由题意得，则 ，即曲线的方程为，故C正确；
D.因为，所以曲线与圆相离，所以曲线与圆没有公共点，故D正确
故选：BCD
三、填空题
13．直线的横截距与纵截距的和为 .
【答案】
【分析】化为截距式，即可求.
【详解】由，得，
则截距之和为.
故答案为：
14．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意知两圆相交，即可利用圆心距与半径的关系列不等式求解.
【详解】若圆与圆有且仅有两条公切线时，则两圆相交，
因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，又，所以，
若两圆相交，则满足，即,
平方化简得，结合得，
即的取值范围为.
故答案为：
15．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支.如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB= 60 cm，PC = 20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为 cm.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：，
因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以，即，
因为AB= 60 cm，PC = 20cm，所以点的坐标为：，代入，得：
，因此有，
所以该双曲线的焦距为，
故答案为：
16．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．
【详解】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.
即的取值范围为.
故答案为
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．
四、解答题
17．已知顶点，边上的高为且垂足为E.
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、
（2）根据求得点的坐标.
【详解】（1），即，
所以直线的方程为.
（2）直线的方程为，
设，
依题意，
所以，
，
即.
18．已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.
【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
19．已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程，
（2）根据向量的坐标运算，计算数量积，进而根据椭圆的有界性和二次函数的性质求解.
【详解】（1）圆的圆心，半径为，
由题意可知，又点是圆上的点，则，
且，则，
由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，
则点的轨迹方程；
（2）设，则，
进而①
又，所以，将其代入①得 ，
由椭圆的有界性可知 ，所以当 时，取最大值
20．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；
（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．
【详解】（1）设圆C的方程为
圆心C在射线上，所以
圆C与y轴相切，则
点到直线的距离 ，
由于截直线所得弦长为，所以
则得，又 所以(舍去)，
故圆C的方程为；
（2）假设m存在，由（1）得，因为，
所以在线段的中垂线上，则，
因为，所以 解得；
当时，直线方程为即，
圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；
所以不存在实数m满足题干要求.
【点睛】圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．
21．已知椭圆:过点，离心率为，斜率不为零的直线过右焦点交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)在轴上是否存在定点，使得，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由椭圆上的点和离心率，求椭圆的方程；
（2）因为，所以，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，求出点坐标.
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为
（2）假设在轴上存在定点， 使得，
设直线L的方程为，，，
因为，所以，
即 ，所以 ，
即，
所以 （*） ，
由，得 ，
所以 代入（*），
得，
所以 ，故在轴上存在定点，使得.
另解：
①当斜率存在时，设的方程为，
因为，所以，
即 ，所以 ，
即，
即（*），
由得，
则 ，代入（*） 得 ，
所以，故在轴上存在定点，使得.
②当斜率不存在时，显然
综上所述：在轴上存在定点，使得.
22．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证.
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．