2023-2024学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等轴双曲线的方程结合几何性质可知，即可求得其渐近线方程，即得答案.
【详解】由题意得若等轴双曲线方程为，
则，则其渐近线方程为；
若等轴双曲线方程为，
则，则其渐近线方程为，
故等轴双曲线的渐近线方程为，
故选：C
2．已知等差数列，记为数列的前项和，若，，则数列的公差（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的求和公式以及通项公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】在等差数列中，为数列的前项和，，
由可得，即，解得.
故选：D.
3．已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，
由题意可知：焦准距，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
4．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3B．6C．8D．12
【答案】B
【分析】利用点差法计算即可.
【详解】设，
则有，
化简得，
即.
故选：B
5．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为.
【详解】根据题意如下图所示：
利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知；
解得，
由三角形面积公式可得；
即的面积为.
故选：C
6．已知等差数列的前n项和为，，则使得不等式成立的最大的n的值为 ( )
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的基本性质求解即可.
【详解】因为等差数列中，，则，则，
因为，，即，
所以使得不等式成立的最大的n的值为9，
故选：B
7．已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为( )
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合勾股定理即可求解，由焦点三角形的周长公式即可求解.
【详解】由于为直径的圆经过M点，所以，
不妨设则，
由椭圆定义可得
由勾股定理可得和，
即和，
解得，
故的周长为，
故选：D
8．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( )
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解.
【详解】直线，当，得，
即点，
直线，当，得，即点，
且两条直线满足，所以，即，
，
，当时，等号成立，
所以的最大值为4.
故选：A
二、多选题
9．已知，动点P满足，则下列结论中正确的是()
A．平面上有一点，则的最小值为0
B．平面上有一点，则的最大值为1
C．平面上有一点，则的最小值为3
D．平面上有一点，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】运用椭圆的定义给出标准方程为，注意先讨论三点共线的特殊情况，三点不共线时再运用三角形的三边关系即可求解.
【详解】由椭圆的定义有，
所以标准方程为，
点A坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆内部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为
若点坐标为，则，所以A项错误.
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之差小于第三边，所以，故B项正确.
点B坐标代入椭圆方程有，所以点在椭圆外部，
当、、共线时，把代入椭圆方程得点坐标为坐标为，
若点坐标为，则，
若点坐标为，则；
当、、不共线时，三角形两边之和大于第三边，所以，故C项正确.
此时，，同B项分析可知：
当、、位置如图时，取得最大值，故D项正确.
故选：BCD.
10．已知数列的前n项和为，则“数列为等差数列”的充要条件是( )
A．当时，(常数)
B．数列的通项公式可以表示为的形式，其中k，b为常数
C．数列的前项n和可以表示为的形式，其中a，b为常数
D．当时，,是和的等差中项
【答案】BC
【分析】根据等差数列的判定方法可依次判定各选项．
【详解】对于A，数列为等差数列等价于（常数），，故A错误；
对于B，数列为等差数列可得，
符合形式，而数列满足，则（常数），即是等差数列，
所以数列为等差数列的充要条件是数列的通项满足形式，
故B正确；
对于C，数列为等差数列可得，
符合形式，若数列的前项和满足，
则当时，，当时，，
所以，由B知是等差数列，
所以数列为等差数列的充要条件是数列的前项和满足，
故C正确；
对于D，当时，是与的等差中项，即数列的奇，偶数项各自成等差数列，
如数列：0,5,1,6,2,7,3,8,满足上面条件，但数列不成等差数列，故D错误.
故选：BC.
11．已知曲线与直线:( )
A．曲线C为y轴右边的半圆（含y轴上的点）
B．曲线C与直线有且仅有一个公共点，则
C．曲线C与直线有两个不同的公共点，则
D．曲线C与直线没有公共点，则或
【答案】AC
【分析】先对曲线C进行变形，发现其图象为以为圆心，为半径的圆的一部分，画出曲线C及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果.
【详解】因为曲线，所以，
解得，曲线可化为，
两边同时平方有：，即，
所以曲线是以为圆心，2为半径的圆的一部分，A正确；
而:，所以直线是斜率为1的直线，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个交点，当直线过时，即，解得：，
当直线过时，即，解得：，由图象可知，
当直线与圆相切时：，解得或，
而即为在轴上的截距，由图象可知，
故曲线C与直线有且仅有一个公共点，则或，B错误；
有两个公共点时，C正确；
曲线C与直线没有公共点，或，D错误.
故选：AC
12．已知的面积为，下面说法正确的是( )
A．若，则S的最大值为1
B．若，则S的最大值为
C．若，则S的最大值为
D．若，则S的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用勾股定理结合基本不等式求解判断A；利用余弦定理结合三角形面积公式建立函数关系求解判断B；建立直角坐标系，求出点C的轨迹求解判断C；由，求出点C的轨迹方程求解判断D.
【详解】在中，令内角所对边分别为，即有，
对于A，由，得，则，
于是，当且仅当 时取等号，A正确；
对于B，，即，由余弦定理得，
即，则，于是
，当时，，B正确；
对于C，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，
由，得点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支（除点外），
显然该双曲线实半轴长为，半焦距为1，虚半轴长为，
因此轨迹方程为 ，显然，无最大值，C错误；
对于D，由选项C中直角坐标系知，直线都不垂直于x轴，
其斜率分别为，并且，
则，整理得，于是，
因此，即S的最大值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：一边为定值的三角形问题，可以借助平面直角坐标系，求出该边所对角顶点的轨迹是解题的关键.
三、填空题
13．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 .
【答案】3
【分析】先由的值判断焦点位置，再根据椭圆基本量的关系进行求解即可.
【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，，
所以，解得.
故答案为：3.
14．数列的首项，且对任意，恒成立，则 ．
【答案】
【分析】根据题意先求得，再将原条件转化为，再由递推关系可推导出是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可．
【详解】依题意可得，得，
又，则，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以．
故答案为：．
15．过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 .
【答案】
【分析】设出切线方程后代入抛物线方程，利用可求得，再通过方程的解可求得切点坐标，继而求出切线斜率，得到切线方程，进一步分析即可.
【详解】设过点的切线方程为，
代入抛物线方程得：
,
其判别式，
即，
故得，，
又的解为，
所以切点的横坐标为，
代入抛物线方程可求得切点坐标为，
设，
令，则，
即切点的坐标为;
令，则，
即切点的坐标为，
故直线的斜率
故直线的方程为
，
当时，
即直线过定点.
16．已知是双曲线的左，右焦点，关于双曲线的渐近线的对称点在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率 ．
【答案】/
【分析】先设点关于渐近线的对称点为点，且与直线交于点，从而得到，再设渐近线的倾斜角为，从而得到，在，根据余弦定理，诱导公式及倾斜角的定义求得，进而即可求得双曲线的离心率．
【详解】不妨取双曲线的渐近线一支，
设点关于渐近线的对称点为点，且与直线交于点，
则为线段的中垂线，所以，
设渐近线的倾斜角为，则，则，
由点在以为圆心，4b为半径的圆上，则，
所以在，根据余弦定理得，
又，
所以，得，
又，则，则，
所以，得，
所以，得．
故答案为：．

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将问题转化为解三角形，然后根据余弦定理，诱导公式及倾斜角的定义求得，进而即可求解．
四、解答题
17．数列的前n项和为，对任意，点在直线上.
(1)求.
(2)求的最小值及此时n的值.
【答案】(1)
(2)，或
【分析】（1）根据题意，得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解；
（2）由数列的通项公式为，得到时，，时，，即可求解.
【详解】（1）因为在上，可得，所以，
则，所以数列是等差数列，
所以.
（2）由数列的通项公式为，
令，解得且，
即当时，；当时，；时，，
所以当或时，的最小值为.
18．已知抛物线与坐标轴交于点，圆M为的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)过点作直线与圆M相交于两点，当时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别令、，可得圆经过的点的坐标，设圆的方程为，代入求解即可；
（2）当直线斜率存在时设直线的方程为，求出圆心到直线的距离可得，再由可得方程无解，当直线斜率不存在时设，由可得答案.
【详解】（1）令，则，令，则或，
圆经过点，以及，
设圆的方程为，
则，，
圆的方程为；
（2）圆的方程为，可得圆心为，圆的的半径为，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
即：，
设圆心到直线的距离为，则，
，又，，
，无解，
当直线斜率不存在时，可得直线的方程为，此时，满足题意，
直线为.
19．数列的前n项和为，数列为等差数列，且
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：是和的等差中项.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列性质求出的公差及前n项和，再借助与的关系求出通项公式即得.
（2）利用（1）的信息，结合等差中项的意义计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
于是，即，
当时，，而满足上式，
所以数列的通项公式.
（2）由（1），
则，
又，因此，
所以是和的等差中项.
20．已知抛物线点在抛物线C上，且，直线与抛物线C相交于A，B两点(A，B均异于坐标原点).
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线定义求出，即可得解；
（2）设直线方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系及得解.
【详解】（1），，
抛物线C的方程为.
（2）如图，
设：代入，得：，
则，即，
设，，则，，
由题意，，，或，
异于原点，，满足，
，故直线恒过定点.
21．双曲线C经过两点.过点的直线与双曲线C交于P，Q，过点的直线与直线相交于点S且
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）设双曲线方程为，代入运算求解即可；
（2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线，，，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设双曲线方程为，
代入可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）若直线的斜率不存在时，则，，不符合，
所以直线的斜率存在，设直线，，，
联立方程，消去y得，
则且，
可得，
则，
又因为，可知，则，
由题意可知：，即，
整理得，解得或，
且或均符合且，
所以直线的斜率或.
22．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆与圆 相交于点.
(1)当四边形面积最大值时，求圆的半径；
(2)直线与（1）中的圆相切，并与椭圆C相交于两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据离心率和短轴长可求得椭圆的方程，解出交点坐标即可写出面积表达式，再由基本不等式即可求得面积最大时的半径取值；
（2）根据直线与圆相切可得，联立直线和椭圆方程利用弦长公式可求得，即可求得面积的表达式，再利用换元以及二次函数性质可求出最大值为.
【详解】（1）根据题意可知，由短轴长为2可得，
又，
解得
椭圆的方程为，又圆
不妨设交点，联立椭圆和圆的方程可得，
利用对称性可得四边形的面积为
又因为，
当且仅当即时取等号；
所以当最大时，圆的半径为，
（2）由（1）可知圆，
设到的距离为，
又直线与圆相切，所以，
即可得
设
联立，消去整理可得，
所以，解得
由弦长公式可知：
令，则
所以
令，则，
所以，
即面积的最大值为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线与圆相切求出之间的关系式，再由交点个数利用判别式求出取值范围，写出面积表达式并利用换元法和二次函数性质即可求出面积最大值.