2023-2024学年江西省萍乡中学、新余市第一中学高二上学期创新班联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省萍乡中学、新余市第一中学高二上学期创新班联考数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集的运算求解.
【详解】由题意得，所以．
故选：B
2．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，得出，即可求解.
【详解】由题意得，
因为，可得，解得．
故选：A.
3．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）

A．1米B．2米C．4米D．8米
【答案】B
【分析】设抛物线C：，由题意可知点在抛物线C上，求得，即可得解.
【详解】设抛物线C：，
由题意可知点在抛物线C上，则，解得，
故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.
故选：B.
4．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出灯罩的轴截面，结合其几何性质列方程求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】如图，灯罩的轴截面为等腰梯形ABCD，其中，分别是灯罩上、下底面圆的圆心，

是灯罩外接球的球心，则，，，
设，则，解得，
则灯罩外接球的半径，故体积，
故选：B
5．某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．270B．2275C．2410D．4550
【答案】B
【分析】根据题意，由原则可得，即可得到所抽取零件总数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，
则所抽取的零件总数为，
故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为．
故选：B
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数的运算及对数的运算，结合对数函数的性质即可求解.
【详解】，则，
，则．
因为，所以，
因为，所以．
又，
，
所以，故．
故选：A.
7．已知，两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到，两点的距离之和为8km.当甲到，两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义可判断跑步路线是以，为焦点的椭圆，进而可得椭圆方程，进而根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解最值.
【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
可知甲、乙两人的跑步线路是以，为焦点的椭圆，，
故椭圆的方程为.
因为甲到，两点的距离相等，所以甲在上（下）顶点处，
根据对称性，不妨设甲所在位肾为点，乙所在位置为点，则.由得:，对称轴为，
因为，所以当时，取得最大值，且最大值为60，
故当甲到，两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为.
故选：A

8．已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于原点对称
C．D．的最小正周期是6
【答案】D
【分析】利用赋值法求判断AC；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；利用赋值法求得，化简得，即可判断D．
【详解】由，
令，，有，可得, 故A错；
因为，令，则，则，
函数是偶函数，故B错误，
令，则，故C错误，
令，则,
所以，
则，
，
所以，
则周期为6，D正确．
故选：D
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意通过赋值逐项分析判断.
【详解】对于A：令，可得，故A错误；
对于B：令，可得，故B正确；
对于C：令，可得，
结合选项B，两式作差，可得，
即，故C正确；
对于D：令，可得，故D正确.
故选：BCD.
10．已知函数．且，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于点对称
C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】利用三角函数的性质及平移变换，结合同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】，其中．
因为，，
所以，，则，，，．
当时，，不单调，A不正确．
当时，，故的图象关于点对称，B正确．
，所以将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，C正确．
，则．
因为，所以．
由，得，
所以，
，D正确．
故选：BCD.
11．已知正方体的棱长为2，P是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则平面截正方体所得截面积的最大值为
C．若，则三棱锥的表面积为
D．若，则直线与BP所成角的最小值为
【答案】ABD
【分析】A选项，先作出辅助线，得到P是线段HK上一点，将两平面展开为一个平面，得到当，P，D三点共线时，取得最小值；B选项，先得到P是线段BD上一点，连接AC并与BD交于点Z，分当P与D重合，P在线段DZ（不含点D）上，P在线段BZ（不含点B，Z）上和P与B重合四种情况，得到截面积的最大值；C选项，求出各边长，各个面的面积，得到三棱锥的表面积；D选项，建立空间直角坐标系，求出直线与BP所成角的最小值.
【详解】对于A选项，在AB上取点H，使得，

在CD上取点K，使得，则由，
得，即，故P是线段HK上一点．
将平面沿HK展开至与平面AHKD共面，此时，

当，P，D三点共线时，取得最小值，A正确．
对于B选项，因为，
所以，即，
又，可知P是线段BD上一点．
连接AC并与BD交于点Z．

当P与D重合时，平面与平面重合，不符合题意．
当P在线段DZ（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，

且当P与Z重合时，此时截面为，截面面积最大，三边长均为，
故截面面积最大值为．
当P在线段BZ（不含点B，Z）上时，延长AP并与BC交于点W，
作并与交于点R，则截面为等腰梯形，

设，则，．
梯形的高，
面积为．
当P与B重合时，截面为矩形，面积为．
故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确．
对于C选项，因为，所以P为的中点，

此时，，
则，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，同理可得，
故为等腰三角形，取的中点，则⊥，且，
故，，
，
因为，所以⊥，故，
故三棱锥的表面积为
，C不正确．
对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，
，
其中，当时，，
当时，令，则，
其中由对勾函数性质可知在上单调递减，所以，
则，
综上，，
由于在上单调递减，所以直线与BP所成角的最小值为，D正确．
故选：ABD
【点睛】立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，下列结论正确的有（ ）
A．若的离心率为，则过点且与的渐近线相同的双曲线的方程是
B．若点，则的最小值为
C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为
D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为
【答案】BD
【分析】对于A项，设出与共渐近线的双曲线的方程代入求解即可，对于B项，运用双曲线的定义及两点之间线段最短即可求解，对于C项，由三角形中位线性质可得，即可得点Q的轨迹为圆，转化为求圆上的点到直线的最大距离求解即可，对于D项，设直线的方程，进而求得点M的坐标，由求得点P的坐标，将点P的坐标代入双曲线的方程即可求得离心率.
【详解】于A项，因为双曲线的离心率为，即，则.
因为双曲线与的渐近线相同，则设双曲线的方程为（），
将代入得，解得，
所以双曲线的方程为，故A项不正确；
对于B项，如图所示，

因为是右支上一点，所以由双曲线定义可知，
又因为在双曲线内，所以，故B项正确；
对于C项，如图，延长并与相交于点B，连接.

由题可知，为的中点，则，
所以，则是以为圆心，为半径的圆上一点.
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，故C项不正确.
对于D项，如图所示，

根据对称性，不妨设直线的方程为，
联立方程组得，
设，则，，
由，则，解得，
即，
将点代入双曲线的方程得，即，
所以双曲线的离心率，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直得到，再利用向量夹角公式求出答案.
【详解】因为，所以，
则，，
则与的夹角为．
故答案为：.
14．某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．

【答案】
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解.
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．

由题可知，直线的方程为，直线的方程为．
设，其中，则，，
则，，
四边形的面积．
当时，取得最大值．
故答案为：
15．已知椭圆：的左、右顶点分别为为上一点（异于），直线，与直线分别交于，两点，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】根据题意可知直线和直线的斜率存在，且斜率之积为，设出两直线方程解出，两点坐标，即可得的表达式，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】如下图所示：
设，则，
易知，，直线和直线的斜率存在，
且斜率之积为.
设直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为6.
故答案为：
16．某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.

【答案】
【分析】应用乘法原理计算即可.
【详解】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条，
再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.
故答案为：120.
四、解答题
17．第31届世界大学生夏季运动会，是中国西部第一次举办世界性综合运动会，共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项、269个小项.该届赛事约有来自170个国家和地区的1万余名运动员及官员赴蓉参加，该届赛事于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行.为了了解关注该赛事是否与性别有关，某体育台随机抽取2000名观众进行统计，得到如下2×2列联表.
(1)在所有女观众中，试估计她们关注该赛事的概率（结果用百分数表示）；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注该赛事与性别有关联?
附：，其中.
【答案】(1)
(2)认为是否关注该赛事与性别有关联
【分析】（1）应用古典概型公式计算即可；
（2）计算卡方，再根据临界值比较即可判断.
【详解】（1）女观众关注该赛事的概率约为：.
（2）零假设为：是否关注该赛事与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为是否关注该赛事与性别有关联.
18．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，边上的中线长为1，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）由面积公式求出，设边的中点为，则，根据数量积的运算律求出，最后由余弦定理计算可得.
【详解】（1）因为，所以．
又，
所以，
整理得．
因为，所以，即．
又，所以．
（2）因为的面积为，所以，则．
设边的中点为，则，且，
则，
则，则．
在中，，则．
19．已知圆：，直线：与圆相交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过圆上一点的直线与曲线恰有一个公共点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对直线方程变形，列方程组求解直线恒过定点，根据列式化简即可求解；
（2）利用点与圆的位置关系得，再利用勾股定理及函数性质求得切线长范围.
【详解】（1）将直线的方程转化为，
令，解得，即直线经过定点.
设，则，，
由，得，
故曲线的方程为.
（2）由（1）可知，曲线是圆心为，半经为2的圆.
，是圆上一点，则，即.
因为过点的直线与曲线恰有一个公共点，所以设直线与曲线相切.
所以.
故的取值范围为.

五、应用题
20．甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响.
(1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率；
(2)记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得甲只参与一轮比赛的概率.
（2）首先计算出“梦想队”一共猜对首歌名、首歌名的概率，然后利用对立事件概率计算公式，求得“梦想队”一共猜对首歌名的概率，由此求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意，每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同，
甲只参与一轮比赛，即“参加第一轮，不参加第二轮”或“不参加第一轮，参加第二轮”，
所以甲只参与一轮比赛的概率为.
（2）每轮由两人选一人参赛，每次参赛结果有两种，，所以：
；
；
.
的分布列为
.
六、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．
(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；
（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.
【详解】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
（2）由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．
22．已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定值为．
【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.
（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.
【详解】（1）将点和点的坐标代入，
得，解得
所以双曲线的离心率．
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．
联立得，
设，，则，，
所以．
，直线：．设，．
联立得，
则且，
则
，
所以，所以为定值，定值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
男
女
合计
关注该赛事
600
300
900
不关注该赛事
400
700
1100
合计
1000
1000
2000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2