2023-2024学年青海省西宁市海湖中学高二上学期第一次阶段考试数学试题含答案

2023-2024学年青海省西宁市海湖中学高二上学期第一次阶段考试数学试题一、单选题1．已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．故选：A．2．下列说法正确的是（    ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【答案】C【分析】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.【详解】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.3．已知，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示直接判断即可.【详解】因为，，所以AB错误；因为，所以不平行，C错误；因为，所以，D正确.故选：D4．已知，，，，，则（    ）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】向量的数量积的坐标表示中，若，，则，题中将和用，，表示后展开代入即可.【详解】因为，，所以因为，，，所以，，，，，所以.故选：A5．对于直线，下列选项正确的为（    ）A．直线l倾斜角为 B．直线l在y轴上的截距为C．直线l不过第二象限 D．直线l过点【答案】C【分析】将直线的一般方程化成斜截式方程即可得直线斜率和在y轴上的截距，可判断AB；画出直线的图象可判断C，将点代入直线方程可判断D.【详解】将直线改写成斜截式方程为由斜截式方程的几何意义可知，斜率为，所以直线倾斜角满足，即，故A错误；易知，直线l在y轴上的截距为，所以B错误；画出直线l的图象如下：由图象可知，直线l不过第二象限，故C正确；将点代入直线方程得，所以直线l不过点，即D错误.故选：C.6．已知空间向量，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的坐标运算，求出向量与的夹角的余弦值，进而可求夹角.【详解】因为，所以，所以，则有所以，因为，所以，故选:D.7．已知直线相互垂直，则值是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】两直线垂直，当它们斜率都存在时，斜率之积为，代入数据可得答案.【详解】由可得∵故选：C8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】用表示出，计算，开方得出AO的长度.【详解】因为四边形是平行四边形，,,,,，即.故选：A二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）A．若 ，则 或B．若向量 是向量 的相反向量，则C．在正方体 中， D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.10．以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确；对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确；对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误；对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；故选：ABD.11．已知直线，下列命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则或C．当时，是直线的方向向量D．原点到直线的最大距离为【答案】AD【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，解得，正确；对选项B：当时，两条直线重合，错误；对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.故选：AD12．已知向量，，则下列结论中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则【答案】ACD【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.三、填空题13．如图，若分别为直线的斜率，则三个数从大到小的顺序是 .【答案】【分析】根据图象可直接确定直线斜率大小关系.【详解】由图象可知：，，三个数从大到小的顺序是.故答案为：.14．已知，，若向量与平行，则 ．【答案】或【分析】先求出和的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算即可．【详解】由，，则，，又向量与平行，即存在使得成立，则有，解得或．故答案为：或．15．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ．【答案】2【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．【详解】设，，则，则点P到直线的距离．故答案为：2．16．已知向量，，其中，现有以下命题：①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；②的最大值为；③ (的夹角)的最大值为；④若定义，则的最大值为．其中正确的命题有 ．(写出所有正确命题的序号)【答案】①③④【分析】①取z轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题；②计算,利用不等式求出最大值即可判断命题；③利用数量积求出夹角的最大值，即可判断命题；④根据定义求出的最大值即可判断命题．【详解】①取z轴的正方向单位向量，则，∴向量与z轴正方向的夹角恒为定值，命题正确；②，当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，命题错误；③由②可得，∴，∴，∴的最大值为，命题正确；④由③可知：，∴，，∴，命题正确．综上可知，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④.四、解答题17．已知直线的方程为(1)若与直线垂直，求的值；(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据两直线垂直列方程，解方程即可得到；（2）分别求出横纵截距，然后根据截距相等列方程，解方程得到，即可得到直线的方程.【详解】（1）因为两直线垂直，所以，解得.（2）因为横纵截距相等，所以横纵截距存在，，令，则，所以纵截距为，令，则，所以横截距为，则，解得或1，所以的方程为或.18． 在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．  【答案】，作图见解析【分析】先利用正六棱柱的性质证得，从而利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为六边形是正六边形，所以，，又在正六棱柱中，，所以，故是平行四边形，则，所以，向量在图中标记如下，  19．已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；【详解】（1），若，则，即，解得；（2），若，则，即，化简可得，解得或.20．如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：  (1)求证：；(2)试求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.【详解】（1）该三棱柱是直三棱柱，且，两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，  则，，，.（2），，易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，取，则，故，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.21．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：(1)；(2)平面；(3)平面⊥平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.【详解】（1）证明：　依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.(1)向量，故. 所以.（2）取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.         （3）底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.22．如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2（1）求出平面的法向量和，由可得答案；（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用可得答案；（3）求出平面的一个法向量设平面与平面夹角为，可得答案.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2则，，，， ，（1）设平面的法向量为，，令，则，，，，面平面.（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，，，==，直线到平面的距离为.（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，，==，所以平面与平面夹角的余弦值.【点睛】方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力.