2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高二上学期9月摸底考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高二上学期9月摸底考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的运算，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.
故选：D
3．若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果.
【详解】因为角的终边经过点，则.
故选：D
4．下列既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性排除ABD，得到答案．
【详解】对选项A：的定义域为，，函数为奇函数，故A错误；
对选项B：既不是奇函数又不是偶函数，故B错误；
对选项C：的定义域为，，函数为偶函数，
且在上是增函数，故C正确；
对选项D：既不是奇函数又不是偶函数，故D错误；
故选：C.
5．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
6．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（ ）
A．若 ，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】由线面平行的性质定理可知A正确；
若，，则或，故B错误；
因为，所以由面面垂直的性质定理可知，必有，使得，
同理，由得必有，使得，
从而有，
若与是相同直线，则由得；
若与是不同直线，则由，，可得，
因为，，则由线面平行的性质定理可得，故，故C正确；
若，则，又，则，故D正确．
故选：B.
7．从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件与事件对立
D．事件与事件对立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，
则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品；
记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，
则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；
事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥，
但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时，
故事件与事件不对立，故B、D错误；
事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”；
故事件与事件对立，故C正确；
故选：C
8．在正方体中，是棱上一点，是棱上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】不妨设，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A

二、多选题
9．航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是（ ）
A．该校高一学生人数是2000
B．样本中高二学生人数是28
C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12
D．该校学生总人数是8000
【答案】BC
【分析】根据扇形统计图和已知条件可求出样本中各年级的人数，然后分析判断即可.
【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生有32人，
则抽取的学生总人数为，
则样本中高一学生人数为，样本中高二学生人数为，
从而样本中高三学生人数比高一学生人数多.
因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，
所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，
所以AD错误，BC正确，
故选：BC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是
B．若，是互斥事件，则，
C．某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【答案】BCD
【分析】用对立事件判断A;根据互斥事件的概念判断B;根据分层抽样方法判断C;根据排列组合公式求出位女生相邻的概率，从而判断D.
【详解】∵他们各自解出的概率分别是和，，则此题不能解出的概率为，
则此题解出的概率为，A选项错，
若、是互斥事件，则，，B选项对，
高级教师应抽取时人，C选项对，
由题意可得女生相邻的概率，D选项对，
故选BCD.
11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
【答案】BD
【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.
【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；
对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；
对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；
对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.
故选：BD
12．如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．B．直线和所成角的余弦值是
C．点到直线的距离是D．点到平面的距离是2
【答案】ABC
【分析】连接，利用中位线、正四棱锥的性质判断A；过作，交延长线于，若为中点，连接，先证为平行四边形，由异面直线定义确定直线和所成角的平面角，再求其余弦值判断B；中求各边长，余弦定理求，进而求点到直线的距离判断C；证面，等体积法有求点面距离判断D.
【详解】A：连接，分别为，的中点，即为中位线，则，
由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对；
B：过作，交延长线于，若为中点，连接，
又，即，则为平行四边形，故，，
而且，故且，即为平行四边形，
所以且，故直线和所成角，即为或其补角，
及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为，
所以，，
，故直线和所成角的余弦值是，对；
C：中，又，则，
所以，则，
所以，故，
所以点到直线的距离是，对；
D：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，，
连接，交为，则，则，
又，，面，
所以面，即面，易知：，
令到平面的距离为，则，
由，则中上的高为，故，
由，，则，
所以，错.
故选：ABC
三、填空题
13．若复数z满足，则 ．
【答案】5
【分析】首先化简复数，再求复数的模.
【详解】，
所以.
故答案为：
14．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是 .
【答案】
【分析】由球的表面积和体积公式，代入已知条件计算即可.
【详解】设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，，化简得.
故答案为：.
15．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= ．
【答案】
【详解】试题分析：从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率.
【解析】古典概型.
16．已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】，，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数
(1)求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，8，
(2)
【分析】（1）根据分段函数的每一段的定义域求解；
（2）先得到，再将转化为求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
；
（2）因为，
所以，
则不等式转化为，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
18．在中，A，B，C的对边分别为，若满足，．
(1)若，求的大小；
(2)若满足，求及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用余弦定理运算求解即可；
（2）先根据面积公式可得，在利用余弦定理可得，进而结合正弦定理运算求解.
【详解】（1）若，由余弦定理，
可得，即.
（2）因为，可知角为锐角，则，
又因为，即，解得，
由余弦定理，即，
由正弦定理，可得.
19．如图，设为正方体，动点在对角线上，记．

(1)证明：；
(2)若异面直线与所成角为，求的值；
(3)当为钝角时，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立坐标系，利用向量数量积为0，证明线线垂直；
（2）写出向量坐标，利用夹角公式可得答案；
（3）利用钝角可得数量积小于零且不等于，求解即可.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则， ，，，;
，，
因为，所以，
所以，
因为，所以.
（2），；
因为直线与所成角为，
所以；
解得，因为动点在对角线上，所以.
（3），，
因为为钝角，所以，解得.
又因为在上恒成立，所以.

20．某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是，数据分组为，，，，.

(1)求x的值；
(2)估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.
【答案】(1)
(2)85.
【分析】（1）由频率分布直方图的性质计算即可；
（2）利用百分位数计算公式计算即可.
【详解】（1）由得；
（2）由，设这100名学生成绩的第75百分位数为m，
则.
由得.
所以这100名学生成绩的第75百分位数为85.
21．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求取球两次终止的概率
（3）求甲取到白球的概率．
【答案】（1）3个白球（2）（3）
【分析】（1）设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数7×6，满足条件的事件数4×3，根据等可能事件的概率公式写出满足条件的事件的概率．（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．
【详解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：，
解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3个白球
（2）记“取球两次终止”为事件A，
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球
记“甲取到白球”为事件B，
【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查古典概型，准确计算是关键，是中档题
22．在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角正弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【详解】（1）取AC得中点O，连接SO，OB，
，，，，
又SO，BO交于点O，平面，平面，
于是可知平面，
又平面，；
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，
那么，取，那么，
∴，
又为平面的一个法向量，
，，
即二面角的正弦值为.