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2023-2024学年浙江省金华市曙光学校高二上学期第一次阶段考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年浙江省金华市曙光学校高二上学期第一次阶段考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角定义及其的范围判断.
【详解】直线的倾斜角是指直线向上的方向与轴的正半轴之间所成的角，故的取值范围是.
故选：D
2．过点和的直线斜率等于1，那么的值等于（ ）
A．1或3B．4C．1D．1或4
【答案】C
【分析】利用已知两点坐标，过两点的直线的斜率公式建立方程，解出即可.
【详解】由题知，，
解得，
故选：
3．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理进行求解.
【详解】因为，点N为BC中点，所以，
故
.
故选：B
4．已知向量，，，则2x－y＝（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】C
【分析】利用空间向量的数量积运算的坐标形式计算求解.
【详解】因为，，，
所以，解得2x－y＝2，.
故选：C.
5．直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：C.
7．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，
直线，整理为，
原点O到直线距离为，
故选：B
8．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量运算求解.
【详解】向量，，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10．已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.
【详解】由题知，直线
对于A，当时，，解得或，故A错误；
对于B，当时，，解得，故B正确；
对于C，在直线中，
当时，，当时，，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当时，的图象为
故D正确；
故选：BCD
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若直线经过第三象限，则，
C．方程表示的直线都经过点
D．存在使得直线与直线垂直
【答案】ACD
【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可知A正确；通过反例可知B错误；由直线过定点的求法可求得C正确；根据两直线垂直可构造方程求得满足的的取值，知D正确.
【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，A正确；
对于B，当，时，直线经过第三象限，B错误；
对于C，直线方程可整理为，
由得：，直线恒过定点，C正确；
对于D，若两直线垂直，则，解得：，D正确.
故选：ACD.
12．如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是平面的一个法向量
B．直线∥平面
C．异面直线与垂直
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用和是否为零进行判断，对于B，由与平面的法向量的数量积是否为零判断，对于C，由判断，对于D，设，然后求出与平面所成的角进行判断.
【详解】由题意可得，，
因为是侧面的中心，是底面的中心，所以，
对于A，因为，，
所以，，
所以，，所以是平面的一个法向量，所以A正确；
对于B，因为平面，所以是平面的一个法向量，
因为，所以，所以，
因为平面，所以直线∥平面，所以B正确；
对于C，因为，所以与不垂直，所以异面直线与不垂直，所以C错误；
对于D，设，则，由选项A可知是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，
所以，
若直线与平面所成的角为，则，解得，
所以存在点，使得直线与平面所成的角为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知三点三点共线，则实数的值为 .
【答案】6
【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为三点共线，
所以，即，解得；
故答案为：
14．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ．
【答案】2
【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．
【详解】设，，则，
则点P到直线的距离．
故答案为：2．
15．已知点，，直线l过定点，且直线l与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是
【答案】
【分析】画出图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】设，
画出图象如下图所示，
，
结合图象可知，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：
16．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .
【答案】/
【分析】设，，，结合题意可得，，进而利用空间向量的数量积定义及运算性质求解即可.
【详解】设，，，
因为点E，F分别是AB，CD的中点，
所以，
，
因为，且，所以，
又，则，
所以，即，
又，，
所以，
，
，
所以,
所以异面直线AF和CE所成角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【详解】（1）.
（2）由于，
所以，
所以，
，
解得或.
18．求满足题意的直线方程：
(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；
(2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线斜率根据斜截式可得直线方程.
（2）当直线过原点时根据过点写出直线方程，当直线不经过原点时，设直线方程为将代入求得即可.
【详解】（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率，
利用斜截式可得：，化为一般式：.
（2）直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即；
直线不经过原点时，截距不为0，
设直线方程为:，把点代入可得:，解得，
化为一般式：；
综上：所求直线为或.
19．已知直线.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，求直线与之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.
（2）先利用直线平行求出a，然后代入平行直线距离公式求解即可.
【详解】（1）因为直线，且，
所以，所以所以.
（2）当时，，解得，
此时，
所以与的距离.
20．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围．
（2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程.
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第四象限，则,
解得，
∴k的取值范围为；
（2）由题意可得中取得,
取得,
故，
当且仅当时，即时取“=”，
此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒
21．如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
(1)求点B到平面ECD的距离；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点面距离
（2）利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】（1）取中点，连接，，
，，，
平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，，
又，，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则,,,,0,,,0,,,,，,
设平面的一个法向量为，，，
，,
则，取，得，
又,
所以点B到平面ECD的距离为
（2）由题意可知：平面的一个法向量为,0,，
设平面的一个法向量为，
,0,，,,，
则，取，得,0,，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，证为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，结合面面垂直的性质证面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法可构造方程求的值.
【详解】（1）取中点，连接，为的中点，
所以，
由，故，，
所以，故四边形为平行四边形，
所以，面，面，
所以平面；
（2）取中点，连接，
由，即四边形为平行四边形，
又，则，即，
为等边三角形，则，
由面面，面面，面，
所以面，
以为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设面的法向量，则，令，则，
所以，可得，即的长为.
一、单选题
1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角定义及其的范围判断.
【详解】直线的倾斜角是指直线向上的方向与轴的正半轴之间所成的角，故的取值范围是.
故选：D
2．过点和的直线斜率等于1，那么的值等于（ ）
A．1或3B．4C．1D．1或4
【答案】C
【分析】利用已知两点坐标，过两点的直线的斜率公式建立方程，解出即可.
【详解】由题知，，
解得，
故选：
3．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理进行求解.
【详解】因为，点N为BC中点，所以，
故
.
故选：B
4．已知向量，，，则2x－y＝（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】C
【分析】利用空间向量的数量积运算的坐标形式计算求解.
【详解】因为，，，
所以，解得2x－y＝2，.
故选：C.
5．直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：C.
7．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，
直线，整理为，
原点O到直线距离为，
故选：B
8．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量运算求解.
【详解】向量，，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10．已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.
【详解】由题知，直线
对于A，当时，，解得或，故A错误；
对于B，当时，，解得，故B正确；
对于C，在直线中，
当时，，当时，，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当时，的图象为
故D正确；
故选：BCD
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若直线经过第三象限，则，
C．方程表示的直线都经过点
D．存在使得直线与直线垂直
【答案】ACD
【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可知A正确；通过反例可知B错误；由直线过定点的求法可求得C正确；根据两直线垂直可构造方程求得满足的的取值，知D正确.
【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，A正确；
对于B，当，时，直线经过第三象限，B错误；
对于C，直线方程可整理为，
由得：，直线恒过定点，C正确；
对于D，若两直线垂直，则，解得：，D正确.
故选：ACD.
12．如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．是平面的一个法向量
B．直线∥平面
C．异面直线与垂直
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用和是否为零进行判断，对于B，由与平面的法向量的数量积是否为零判断，对于C，由判断，对于D，设，然后求出与平面所成的角进行判断.
【详解】由题意可得，，
因为是侧面的中心，是底面的中心，所以，
对于A，因为，，
所以，，
所以，，所以是平面的一个法向量，所以A正确；
对于B，因为平面，所以是平面的一个法向量，
因为，所以，所以，
因为平面，所以直线∥平面，所以B正确；
对于C，因为，所以与不垂直，所以异面直线与不垂直，所以C错误；
对于D，设，则，由选项A可知是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，
所以，
若直线与平面所成的角为，则，解得，
所以存在点，使得直线与平面所成的角为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知三点三点共线，则实数的值为 .
【答案】6
【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为三点共线，
所以，即，解得；
故答案为：
14．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ．
【答案】2
【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．
【详解】设，，则，
则点P到直线的距离．
故答案为：2．
15．已知点，，直线l过定点，且直线l与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是
【答案】
【分析】画出图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】设，
画出图象如下图所示，
，
结合图象可知，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：
16．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .
【答案】/
【分析】设，，，结合题意可得，，进而利用空间向量的数量积定义及运算性质求解即可.
【详解】设，，，
因为点E，F分别是AB，CD的中点，
所以，
，
因为，且，所以，
又，则，
所以，即，
又，，
所以，
，
，
所以,
所以异面直线AF和CE所成角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据列方程，从而求得的值.
【详解】（1）.
（2）由于，
所以，
所以，
，
解得或.
18．求满足题意的直线方程：
(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；
(2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线斜率根据斜截式可得直线方程.
（2）当直线过原点时根据过点写出直线方程，当直线不经过原点时，设直线方程为将代入求得即可.
【详解】（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率，
利用斜截式可得：，化为一般式：.
（2）直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即；
直线不经过原点时，截距不为0，
设直线方程为:，把点代入可得:，解得，
化为一般式：；
综上：所求直线为或.
19．已知直线.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，求直线与之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.
（2）先利用直线平行求出a，然后代入平行直线距离公式求解即可.
【详解】（1）因为直线，且，
所以，所以所以.
（2）当时，，解得，
此时，
所以与的距离.
20．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围．
（2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程.
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第四象限，则,
解得，
∴k的取值范围为；
（2）由题意可得中取得,
取得,
故，
当且仅当时，即时取“=”，
此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒
21．如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
(1)求点B到平面ECD的距离；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点面距离
（2）利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】（1）取中点，连接，，
，，，
平面，平面平面，平面平面，
平面，平面，，
又，，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则,,,,0,,,0,,,,，,
设平面的一个法向量为，，，
，,
则，取，得，
又,
所以点B到平面ECD的距离为
（2）由题意可知：平面的一个法向量为,0,，
设平面的一个法向量为，
,0,，,,，
则，取，得,0,，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，证为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，结合面面垂直的性质证面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法可构造方程求的值.
【详解】（1）取中点，连接，为的中点，
所以，
由，故，，
所以，故四边形为平行四边形，
所以，面，面，
所以平面；
（2）取中点，连接，
由，即四边形为平行四边形，
又，则，即，
为等边三角形，则，
由面面，面面，面，
所以面，
以为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设面的法向量，则，令，则，
所以，可得，即的长为.
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