2023-2024学年浙江省绍兴蕺山外国语学校高二上学期9月检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴蕺山外国语学校高二上学期9月检测数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可．
【详解】底面ABCD是平行四边形可知：，所以A正确；
，所以B不正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
故选：B
2．已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则与共线
C．若，则D．
【答案】B
【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可.
【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误；
对B，，当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确；
对C，若，则，不能得出，故C错误；
对D，，，故不成立，故D错误；
故选：B
3．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
4．在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为的三等分点靠近C点，则点E到平面BDF的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
设平面的法向量，则，令，得，
所以点到平面的距离为.
故选：A
5．设，向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，选项C正确.
故选：C．
6．正四面体中，E、F为AB、DC的中点，则异面直线AF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由异面直线夹角的定义作出异面直线AF与CE的夹角，解三角形求其大小.
【详解】如图，取的中点，连接，
则，，，，
所以(或其补角)为异面直线AF与CE的夹角，
设，则，
所以，
又，所以，
所以，
又
，
所以，即
所以
即，所以，
所以，
所以异面直线AF与CE所成角的余弦值为.
故选：B.
7．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
【答案】D
【分析】利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A,利用向量的夹角公式即可判断BC,由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断D.
【详解】由题意可得,,
又，则
，故A错误，
由于，
则，，
又，
则，故B错误，
由于 ,所以向量与的夹角即为与的夹角，
由于等边三角形，故为，
进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误，
,
所以,进而可得 平面 ,
故 平面,故D正确，
故选：D
8．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
【详解】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故选：C
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，
则，则，所以，或，A错；
对于B选项，对空间中任意一点，有，
则，整理可得，
故、、、四点共面，B对；
对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，
两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对；
对于D选项，已知向量，，
则在方向上的投影向量为，D对.
故选：BCD.
10．设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可依次求解．
【详解】由是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与可以平行，不一定垂直，故A错误；
在B中，由基底的定义可知，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，是空间一个基底，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，假设向量共面，则，，
化简得，因为不共面，
所以，无解，
所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD
11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是；
C．存在点，使得；
D．面积的最小值是
【答案】AC
【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；
对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,
对于C，设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误.
故选：AC
12．（多选题）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【分析】对于A，欲证平面，只需证明，由易证，故A项正确；
对于B，由、、三条直线两两垂直，可知直三棱柱是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱的外接球的表面积易求，然后再判断.
对于C，由于，异面直线与所成角为，在中，的正切值易求，然后判断.
对于D，由、、三条直线两两垂直，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量的夹角，然后再判断即可.
【详解】解：在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，不在平面内，平面，
所以平面，A项正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以C项错误；
二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图
则，
，，，
设平面的法向量，
则，即，令可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令可得
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
故选：AD.
【点睛】综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.
三、填空题
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
【答案】
【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案．
【详解】向量，，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为
,,0,,0,，
故答案为：．
14．棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，则 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，，，
所以；
故答案为：
15．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为 .
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解．
【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以，即，
解得或（舍去），所以，
故答案为：．
16．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围.
【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
则，得，
所以，
，
显然不是平角，所以为钝角等价于，
即，即，
解得，因此的取值范围是.
故答案为：

四、解答题
17．已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，再代入向量的夹角公式求解；
（2）求出，解方程即得解.
【详解】解：（1）因为，，
所以．
，
．
所以，
所以与的夹角余弦值为．
（2），
因为与互相垂直，
所以．
所以．
所以当与互相垂直时，实数的值为．
【点睛】结论点睛：，如果，则；如果，则.
18．如图，平行六面体中，与相交于，设、、，
(1)用、、表示；
(2)若、、三向量是两两成角的单位向量，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形及向量加法和数乘的几何意义，及向量加法的平行四边形法则，及相等向量和相反向量的定义即可得出；
（2）根据条件及进行数量积的运算即可求出的值．
【详解】（1）解：根据图形，；
（2）解：三向量是两两成角的单位向量，
则，所以
．
五、证明题
19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，结合面面垂直的性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，根据线面角的向量求法可构造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取中点，连接，
分别为中点，，，
，，又，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，
又，，即；
为等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面；
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，解得：，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
六、解答题
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求直线FC到平面 AEC1的距离；
(2)求平面 AEC1与平面 EFCC1所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，求出，即可证明，得到平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，求出平面的法向量，然后利用空间向量法求解点到平面的距离，即可得到结果．
（2）求出平面的法向量，利用空间向量法求解平面与平面所成锐二面角的余弦值即可．
【详解】（1）解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，.
∴，，，，.
∵.
∴，∴平面，∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，∴，
∴，取，则，，∴，
又，
∴点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，则，∴，
∴，取，则，∴，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.