2023-2024学年湖北省十堰市第一中学部分普通高中高二上学期期中联考数学试题含答案

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. 不存在B. C. D.
2. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（ ）
A. B. 6C. 3D.
7. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A. B. C. D.
8. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 垂直于同一个平面的两个平面平行
B. 三个平面两两相交，则交线平行
C. 一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
D. 平行于同一条直线的两个平面平行
10. 已知直线一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直D. 上存在与原点距离等于1的点
11. 已知直线：，：，则（ ）
A. 恒过点B. 若，则
C. 若，则D. 不经过第三象限，则
12. 如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E，F分别在棱DA，DC上，且EFAC，若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 时，BP与面ABC夹角为φ，则
C. 若，则P的轨迹为不含端点的直线段D. 时，平面ACD与平面BDP所夹的锐二面角为，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线与直线平行，则______．
14. 有一组数据2，2，3，3，3，5，7，8，这组数据的第25百分位数是______．
15. 过点且在两坐标轴上截距互为相反数直线方程是__________．
16. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知中，点，点，点．
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求角平分线所在直线的方程．
18. 如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．

（1）求点Q的轨迹围成图形的面积；
（2）求最大值．
19. 如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
20. 已知直线：，直线：.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程.
21. 已知直线：．
（1）求证：无论取何值，直线始终过第一象限；
（2）若直线与，轴的正半轴交点分别为A，B两点，O为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
22. 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，
（1）证明:平面PBD平面ABCD；