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2023-2024学年湖南省五市十校教研教改共同体高二上学期期中联考数学试卷含答案
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命题单位：主命题：雷锋学校
副命题：宁乡一中 审题单位：天壹名校联盟审题组
南方中学 东山学校
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A 2B. 3C. 4D.
3. 国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）
A. 7B. 8C. D. 9
4. 过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆锥的侧面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 的单调递减区间为
10. 已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A. 2B. C. D.
11. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）
A. 6B. 8C. D.
12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. C的渐近线方程为
B 若直线与双曲线C有交点，则
C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是__________．
14. 已知，，则__________．
15. 如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则________.
16. 已知椭圆左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．
（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；
（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率．
18. 已知函数，且.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求m的取值范围．
19. 已知圆，直线.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．
20. 已知分别为三个内角A，B，C对边，且
（1）求
（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
21. 如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接
（1）证明：平面
（2）点P在棱上，当二面角为时，求EP的长．
22. 已知椭圆经过点，且右焦点为
（1）求C的标准方程；
命题单位：主命题：雷锋学校
副命题：宁乡一中 审题单位：天壹名校联盟审题组
南方中学 东山学校
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A 2B. 3C. 4D.
3. 国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）
A. 7B. 8C. D. 9
4. 过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆锥的侧面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 的单调递减区间为
10. 已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A. 2B. C. D.
11. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）
A. 6B. 8C. D.
12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. C的渐近线方程为
B 若直线与双曲线C有交点，则
C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是__________．
14. 已知，，则__________．
15. 如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则________.
16. 已知椭圆左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．
（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；
（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率．
18. 已知函数，且.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求m的取值范围．
19. 已知圆，直线.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．
20. 已知分别为三个内角A，B，C对边，且
（1）求
（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
21. 如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接
（1）证明：平面
（2）点P在棱上，当二面角为时，求EP的长．
22. 已知椭圆经过点，且右焦点为
（1）求C的标准方程；
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