2023-2024学年四川省宜宾市第四中学高二上学期期中数学试题含答案

宜宾市四中2023年秋期高二期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 经过点（4，-3），斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0 B. 2x-y-5=0C. 2x+y+5=0 D. 2x+y-5=0【答案】D【解析】【分析】根据直线的点斜式方程写出直线方程，再化成一般式方程即可.【详解】由直线点斜式得，化为一般式得.故选：D2. 已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4【答案】C【解析】【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，所以圆的圆心和半径分别为，2.故选：C.3. 对高一（6）班的第一学月数学成绩进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，据此估计该班数学成绩的第75百分位数为（ ）A. 47 B. 42 C. 24 D. 35.5【答案】A【解析】【分析】根据百分位数的求解步骤，可得答案.【详解】由题意，样本容量，则令，所以第百分位数为第个数据.故选：A4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据直线经过圆心即可求解.【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得.故选：A5. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）A. 623 B. 328 C. 253 D. 530【答案】A【解析】【分析】结合随机数表的读法即可.【详解】读取数据如下所示：从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的数据中两个超出范围，一个数字重复，所以抽取的6个样本编号分别是：253、313、457、007、328、623，则得到的第6个样本编号是623，故选：A.6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】建立如图示的空间直角坐标系：由题意可得：，，，，，，，，，，.所以,.设EF与CG所成角为，则.即EF与CG所成角的余弦值是.故选：D7. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立【答案】C【解析】【分析】根据题意写出样本空间，分别表示出事件、事件和事件，求出对应概率，然后根据对立事件的概念以及事件独立性概念作出判断即可.【详解】依题意，样本空间为： 共36种，事件包含的基本事件为： 共种，，事件包含的基本事件为： 共种，，事件包含的基本事件为： 共种，对于A，事件与事件互斥，不对立，A错误；事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，，B错误；事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，，对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选C.8. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）（参考数据：，．）A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.【详解】设，由题意可得：，即，可知表示正方形，其中，即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：①点为点A，则，可得；②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，则；因为，所以的最大值为.故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）A. 2个球都是黑球的概率为 B. 2个球都是白球的概率为C. 1个黑球1个白球的概率为 D. 2个球中最多有1个黑球的概率为【答案】ABD【解析】【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取个球，该球为黑球或白球的概率，然后利用独立事件、互斥事件的概率公式可判断各选项.【详解】从甲袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为，从乙袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为.对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对；对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对；对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错；对于D选项，2个球中最多只有1个黑球的概率为，D对.故选：ABD.10. 已知直线：，则（ ）A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为C. 直线的一个法向量为 D. 直线的一个方向向量为【答案】BD【解析】【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案.【详解】直线：，则，，，故，A错误，直线在轴上的截距为，B正确.，故直线的一个方向向量为，D正确；，C错误.故选：BD.11. 已知方程，则下列说法正确的是（ ）A. 当时，表示圆心为的圆 B. 当时，表示圆心为的圆C. 当时，表示的圆的半径为 D. 当时，表示的圆与轴相切【答案】BCD【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.12. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正确；，，，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.第II卷 非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线垂直，则等于______________.【答案】.【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.【详解】直线与直线垂直，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14. 为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______【答案】0.58####58%【解析】【分析】分两人都回答正确，甲回答正确，乙回答错误，以及甲回答错误，乙回答正确三种情况讨论即可.【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件,则,设“至少有一人正确”为事件，，故答案为：.15. 若三条直线围成三角形，则k的取值范围是___________.【答案】且且【解析】【分析】先的斜率，然后求得与的交点坐标，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】的斜率为，的斜率为，由解得，所以与的交点坐标为.当时，，即，此时直线不过点且与不平行，三条直线围成三角形，符合题意.当时，要使三条直线能围成三角形，则须，解得且且.所以的取值范围是且且.故答案为：且且【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，属于中档题.16. 方程只有一个解，则实数k取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点个数，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设，则对应的图像为圆的上半部分，作出两个函数图像，当直线与半圆只有一个交点时，满足题意，当直线与半圆相切时，直线与半圆只有一个交点，解得，当直线过点时，，得，故实数k的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知三个顶点为，为的中点，所在的直线为，（1）求一般式方程；（2）若直线经过点，且，求在轴上的截距.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得点，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）根据题意，设直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由的三个顶点为，且为的中点，可得，即，则，所以直线的方程为，即.【小问2详解】解：由（1）知，直线的方程为，因为，可设直线的方程为，直线经过点，可得，解得，所以直线的方程为，18. 在平面直角坐标系中，，，，圆为△的外接圆．（1）求圆M的标准方程；（2）过点作圆M的切线，求切线方程．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）分为切线斜率存在和不存在两种情况分别计算，当切线斜率存在时利用点到直线的距离公式求解即可.【小问1详解】设圆M的方程为，因为圆为△的外接圆,所以,解得，所以圆M的方程为，故圆M的标准方程为．【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得所以切线方程为，即．综上所述，所求切线方程为或．19. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.【小问2详解】设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．20. 如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，分别为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由正三角形的性质可得，由矩形中的数据可得，从而有，由线面垂直的判定定理可得面，进而可证得；（2）如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】（1）证明：为正三角形，为中点，为矩形，，，．根据勾股定理的逆定理得：，因，面，平面，．（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量，则取，得易知平面的法向量， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21. 2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）31.75岁；36.25 （2）（i）；（ii）10【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果；（2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果；（ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.【小问1详解】设这人的平均年龄为，则（岁）设上四分位数（第75百分位数）为， ，，位于第四组：内；方法一：由，解得.方法二：由，解得.【小问2详解】（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，则，，，，可得，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．则，即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，法一：.法二：.即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．22. 已知点和，圆与圆关于直线对称．（1）求圆的方程；（2）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．【答案】（1） （2）M为（1,0），最小值为5【解析】【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求；(2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值．【小问1详解】设圆的圆心为，由题意可得，，解得．圆的方程为；【小问2详解】设点，，，，则．，为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，，解得或(舍去)，，此时为定值，∴，当且仅当、、三点共线时，的最小值为．