2023-2024学年重庆市江津中学高二上学期期中数学试题含答案

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一、单选题（每题5分共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.
【详解】的斜率为，故倾斜角为.
故选：B
2. 点关于坐标平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】关于平面对称，则坐标和坐标不变，坐标变为相反数.
【详解】关于坐标平面的对称点为.
故选：D
3. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
4. 是空间的一组基底，则可以与向量构成基底的向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.
【详解】因为是空间的一组基底，所以不共面，不共线，
因为，若，则，
显然这样的不存在，所以不共线，
对于A，因，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故A错误；
对于B，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故B错误；
对于C，因为，若，显然这样的不存在，
所以不能用与表示，不共面，
故能构成基底向量，故C正确；
对于D，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故D错误.
故选：C.
5. 已知直线，，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,，，，
所以．
故选：C．
6. 圆关于直线对称后的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.
【详解】圆的圆心 半径为 ，由得，
设圆心关于直线对称点的坐标为，则
，解得,
所以对称圆的方程为.
故选：A.
7. 如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
即，即
故选：B
8. 已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解.
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令，解得.
直线必过定点．
，．
直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A.
二、多选题（每题5分共20分漏选得2分错选得0分）
9. 已知向量，，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB.
10. 已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心为B. 圆被轴截得的弦长为10
C. 圆的半径为5D. 圆被轴截得的弦长为8
【答案】AC
【解析】
【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.
【详解】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D不正确；
令，得或，弦长为8，故B不正确.
故选：AC
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 方程 表示的图形是圆
D. 斜率为，在轴截距为3的直线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】运用圆与直线有关知识逐项分析可以求解.
【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限，得到斜率截距，故点在第二象限，正确；
对于B，由直线整理得，所以无论a取何值点都满足直线方程，正确；
对于C，将方程配方得，表示的图形是一个点，错误；
对于D，斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为，错误；
故选：AB.
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
当为中点时，，
所以,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
因为，所以，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，又,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
因为，所以平面平面，故C正确；
因为，易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分共20分）
13. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
14. 已知直线与直线垂直，则实数a值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.
【详解】由于，所以，
，解得或.
故答案为：或
15. 若，，点在线段（含端点）上移动，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由表示动点与定点之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为，，可得直线的方程为，
又由表示动点与定点之间的距离，
由点到直线的距离公式，可得，
又由，则过点与垂直的直线的斜率为，
此时直线方程为，即，
联立方程组，解得，满足题意，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，
设二面角为，则，故二面角的余弦值为；
故答案为：
四、解答题（17题10分其余每题12分共70分）
17. 已知直线l过点．
（1）若直线l与垂直，求直线l的一般式方程；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；
（2）分别讨论截距为和截距不为，两种情况分类讨论，进而求得直线的方程.
【小问1详解】
解：由直线的斜率为，则直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
【小问2详解】
解：当截距为0时，直线的方程为；
当截距不为0时，直线设为，代入,解得，
可得直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或
18. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
19. 已知曲线和直线．
（1）当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
（2）当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为，求m的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过对变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距，利用弦心距､半径与半弦长的关系计算即得结论
【小问1详解】
，，
又曲线表示圆，，即，
所以m的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）可知，圆心坐标为，
又直线，圆心到直线的距离，
直线截得的弦长为，，
解得：
20. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面.

（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量即可结合点面距离公式求解，或者利用等体积法求解.
【小问1详解】
方法一：∵平面，，∴，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系
∵，，∴
平面的一个法向量，
故，∴
又∵平面，∴平面
方法二：（1）取中点，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为四边形是矩形，，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
解法一：，，
设面一个法向量为
，取，则，故
，
解法二：
因为，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为到平面的距离，
所以，
设到平面的距离，取中点为，
则四边形为平行四边形，故,所以平面，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以
所以点到平面的距离为
21. 直线l过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为，求的面积；
（2）若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围；
【答案】（1）16 （2）.
【解析】
【分析】（1）点斜式求出直线方程，得到A、B两点坐标，可计算的面积；
（2）设直线的斜率为，表示出直线方程，得到A、B两点坐标，由求直线l的斜率k的取值范围.
【小问1详解】
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
整理得：，
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
故的面积为.
【小问2详解】
根据题意，直线的斜率存在且，
所以直线的方程为：，
整理得：
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
所以，解得 ，
所以的面积，
由于的面积满足，
所以，整理得：，
解不等式得：，
故直线的斜率的取值范围.
22. 如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，沿直线折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．

（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点是线段的中点
【解析】
【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理可得答案；
（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．
【小问1详解】
取线段的中点，连接，

在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
，
在中，，
；
【小问2详解】
因为，，，平面，，
所以平面，过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点．