专题6 多元函数条件极值-解析版

这是一份专题6 多元函数条件极值-解析版，共19页。试卷主要包含了二元函数条件极值结构识别，二元函数消元基耂方法运用，二元函数化数式结构识别，多元函数消元途径探究，二元函数极值消元层层剥离，二元函数条件与目标结构挖掘等内容，欢迎下载使用。
一、二元函数条件极值结构识别
问题1：已知正实数a，b满足9a2＋b2＝1，则ab3a＋b的最大值为________．
【解析】卡壳点：看不出结构特点，也不会换元处理．
应对策略：把握条件与目标变量结构之间的联系．
问题解答：解法1利用不等式21x＋1y⩽x2＋y22，可得2ab3a＋b＝21b3＋1a⩽a2＋b292＝132．故ab3a＋b的最大值为212．
【反思】在识别出条件与所求目标之间是调和平均数与平方平均数的联系后，直接利用基本不等式就可以解决问题．
解法2由9a2＋b2＝1可得ab⩽16．
同理3a＋b⩾23ab．
以上两处不等式的等号均在3a＝b时取得．
故ab3a＋b⩽ab23ab＝ab23⩽123⋅6＝212．
故ab3a＋b的最大值为212．
【反思】只需要运用两次基本不等式就可以破解，但要注意等号成立的条件．
解法3ab3a＋b2＝(ab)29a2＋b2＋6ab＝(ab)21＋6ab＝11(ab)2＋6ab＝11ab＋32-9．
由9a2＋b2＝1可得ab⩽16，则ab3a＋b2⩽172．
所以ab3a＋b的最大值为212．解读：在整体思想的支配下，把ab视为一个变量去探究所求目标与条件之间的联系．
解法4令3a＝sin⁡θ，b＝cs⁡θ，θ∈0，π2，则ab3a＋b＝13⋅sin⁡θcs⁡θsin⁡θ＋cs⁡θ．
令sin⁡θ＋cs⁡θ＝t，t∈(1，2]，则sin⁡θ⋅cs⁡θ＝t2-12．
于是ab3a＋b＝13⋅sin⁡θcs⁡θsin⁡θ＋cs⁡θ＝16t-1t．
由于函数f(t)＝t-1t在区间(1，2]上单调递增，故当t＝2时，取最大值212．
【反思】二元函数“9a2＋b2＝1”转化为一元函数最直接的方法就是三角换元．
二、二元函数消元基耂方法运用
问题2：已知a＞0，b＞0，且2a＋2＋1a＋2b＝1，则a＋b的最小值是，此时a＝________．
【解析】卡壳点：看不出所求目标与条件式在结构上的联系，也不会消元转化．
应对策略：已知两个量之和为定值1时，学会用均值法减元或将目标整体设为末知元．
问题解答：解法1令2a＋2＝12-t，1a＋2b＝12＋t，于是a＋2＝212-t，a＋2b＝112＋t．
两式相加得2a＋2b＋2＝212-t＋112＋t＝32＋t14-t2．
令32＋t14-t2＝u，整理得ut2＋t＋32-u4＝0．
方程有实根，则Δ＝1-4u32-u4⩾0，即u2-6u＋1⩾0，解得u⩾6＋322＝3＋22．
于是2a＋2b⩾1＋22，a＋b⩾12＋2，a＋b的最小值是12＋2．
从而2a＋2＋122＋1-a＝1，化简得a2-22a＋2＝0，解得a＝2．
解法2令a＋b＝t，b＝t-a，代人条件得2a＋4(t-a)＋a＋2＝(a＋2)[a＋2(t-a)]．
即4t-a＋2＝-a2-2a＋2at＋4t，整理得a2＋(1-2t)a＋2＝0．
方程有实根，则Δ＝(2t-1)2-8⩾0，解得t⩾12＋2．
代回原方程可得a2-22a＋2＝0，解得a＝2．
【反思】均值消元的前提条件是题设中有两变量和为定值的特征，借助均值法可以将二元函数化归为一元函数，此时至少有两个途径：一是化成二次方程，然后用判别式法建立目标函数的不等关系式；二是利用导数工具求最值，如令32＋t14-t2＝u，求ut'＝0，从而求得二元函数的最值．
三、二元函数化数式结构识别
在多元函数条件极值问题中，代数式是基本的特征，因此判断代数式的结构特征成为解决问题的关键，然而，学生在代数式结构判断方面意识不强，导致求解受阻甚至失败．
问题3：已知实数a，b满足b∈(0，1)且a-b＝1，则1a-1＋15-4b的最小值是
【解析】卡壳点：看不出条件与所求目标代数式之间的结构联系．
应对策略：充分挖掘代数式结构特点，寻找与数学模型相似的结构．
问题解答：解法1(基本不等式)因为1＝a-b＝a-1＋54-b-14，所以54＝a-1＋54-b．
从而1a-1＋15-4b＝1a-1＋1454-ba-1＋54-b54＝4554＋54-ba-1＋14(a-1)54-b⩾4554＋1＝95，
当且仅当45-b＝12(a-1)时取等号．
故1a-1＋15-4b的最小值是95．
解法2 (导数法)由已知得a-1＝b，f(b)＝1a-1＋15-4b＝1b＋15-4b，b∈(0，1)．
对f(b)求导得f'(b)＝-1b2＋4(5-4b)2＝0，
当5-4b＝±2b，即b＝56时，f(b)min＝f56＝95．
故1a-1＋15-4b的最小值是95．
解法3(权方和不等式)1a-1＋15-4b＝12a-1＋12254-b⩾1＋122(a-1)＋54-b＝95．
当且仅当1a-1＝1254-b时取等号．
故1a-1＋15-4b的最小值是95．
【反思】(1)此题的条件与所求目标中的代数结构隐藏得比较深，若要顺利求解，首先要善于判断，其次要学会将已知条件向着所求目标不断变形．
(2)不同思维层次的读者会有不同的方法，上面给出的三种解法仅供参考．
四、多元函数消元途径探究
多元函数条件极值的另一个特征是变量多，要消元，变多元为一元，再用一元函数求最值的方法求解，或整体看作一元处理．不同结构特征的代数式消元的方法也不同，然而部分学生针对不同类型的多元结构，消元的基本方法储备不足，运用不熟，导致消元失败或找不到问题求解的基本思路．
问题4：已知正实数a，b满足1(2a＋b)b＋2(2b＋a)a＝1，求ab的最大值．
【解析】卡壳点：看不出条件与目标间的联系．
应对策略：充分挖掘所求目标与条件代数式结构之间的联系．
问题解答：解法1(结构剖析＋基本不等式)
ab＝a2a＋b＋2b2b＋a＝2(2a＋b)-(2b＋a)32a＋b＋2×2(2b＋a)-(2a＋b)32b＋a＝2-132b＋a2a＋b＋2(2a＋b)2b＋a⩽2-223．
当且仅当(2b＋a)2＝2(2a＋b)2，ab＝a2a＋b＋2b2b＋a，即a2＝222-2421，b＝2＋322a时，取等号．
【反思】找出所求目标与条件代数式结构之间的联系是关键．化简过程的前三个等号中，第一个等号容易想到．第二个等号建立在a＝λ1(2a＋b)＋λ2(2b＋a)，2b＝μ1(2a＋b)＋μ2(2b＋a)的基础上，即将分子线性表示为两个基本量2a＋b与2b＋a之间的数量关系，由2λ1＋λ2＝1λ1＋2λ2＝0解得λ1＝23，λ2＝-13；由2μ1＋μ2＝0，μ1＋2μ2＝2解得μ1＝-23，μ2＝43．第三个等号在于化简呈现出对勾函数形式，为使用基本不等式奠定基础．最后在求最大值时，要解一个复杂的二元分式方程组，这也会成为解题障碍．
解法2 (换元＋基本不等式)
令t＝ba，则ab＝a2a＋b＋2b2b＋a＝12＋t＋2t2t＋1＝1＋t-12t2＋5t＋2．
令u＝t-1(为求最大值，考虑其大于0)，
则g(u)＝1＋u2u2＋9u＋9＝1＋12u＋9u＋9⩽1＋162＋9＝2-223，
当且仅当u2＝92，即(t-1)2＝92，即ba-12＝92且ab＝a2a＋b＋2b2b＋a，即a2＝222-2421，b＝2＋322a时取等号．解读：解法2第二行的前三个等号中，第一个等号容易想到，第二个等号是建立在前面的分式为一次齐次式基础上的变量换元，第三个等号是将分式运算后的假分式转化为真分式的过程，然后根据t-12t2＋5t＋2的分子分母特征再次换元，为下一步化简呈现出对勾函数形式及使用基本不等式奠定基础．在求最大值点时，要解一个复杂的二元分式方程组，这也会成为运算障碍．
解法3(判别式法)令u＝ab，b＝ua，于是条件转化为12u＋b2＋22u＋a2＝1．
整理得2u＋b22u＋a2＝6u＋a2＋2b2，即(2u-1)a2＋(2u-2)b2＋5u2-6u＝0．
两边同乘以a2得(2u-1)a4＋5u2-6ua2＋(2u-2)u2＝0，此方程为关于a2的二次方程，该方程有解，则由判别式可得5u2-6u2-4(2u-1)(2u-2)u2⩾0．
整理得9u2-36u＋28⩾0，解得u⩽36-362-4×9×2818＝2-223，当且仅当ab＝2-223，a2a＋b＋2b2b＋a＝2-223，即ab＝2-223，3-423a2＋2-423b2＝2823-1129时取等号．
【反思】不同数学思维层次的学生接受能力不同，有些学生习惯用判别式法解决，此方法相对比较固定、程序化，容易掌握，只是如前所述，在求最大值点时，要解一个复杂的二元分式和二元二次方程组，这会成为运算障碍．
(1)将目标代数式表示成条件代数式中元素的线性组合，这是一个重要的方法．
(2)利用待定系数法确定其中的待定系数，比较方便．
五、二元函数极值消元层层剥离
解决多元极值问题的基本思想方法(消元意识＋消元技巧＋变形能力十运算能力)是问题突破的基本途径，没有在脑海中建立起这些基本思想方法，就无法解决此类问题，痛点自然产生．
问题5：若实数x，y满足x⩾-1，y⩾-1且2x＋2y＝4x＋4y，求22x-y＋22y-x的最大值．
【解析】卡壳点：对于指数式结构换元意识不到位．
应对策略：识别条件与所求目标中代数式结构特点，每个结构特点都有相应的方法．
问题解答：条件式与目标式中最明显的表征就是含有指数形式．
设2x＝a，2y＝b，则a，b⩾12且a2＋b2＝a＋b．
记所求代数式为M，则M＝b2a＋a2b．(代数变换，将指数结构转化为代数式结构)
解法1M＝b2a＋a2b＝a3＋b3aba＋ba2＋b2，
令ab＝t，则M＝t3＋1(t＋1)tt2＋1＝(t＋1)2tt2-t＋1t2＋1＝t＋1t＋21-1t＋1t．(齐次变换，将分
式结构转化为对勾函数结构)令t＋1t＝s，于是得M＝(s＋2)1-1s＝1＋s-2s．(代数变换，简化函数结构)
2x＋2y＝4x＋4y转化为a-122＋b-122＝12，(指数变换，将条件转化从而呈现几何结构)
于是点(a，b)在圆心为12，12，半径为22的14圆弧上(包括端点)，从而有ab＝t∈[2-1，2＋1]，s∈[2，22]，故M的最大值是1＋322．
解法2 令a＝12＋22cs⁡θ，b＝12＋22sin⁡θ，θ∈0，π2，(三角变换，将目标二元结构转化为一元结构)则M＝[2＋2(sin⁡θ＋cs⁡θ)][3＋2(sin⁡θ＋cs⁡θ)-2sin⁡θcs⁡θ]2[1＋2(sin⁡θ＋cs⁡θ)＋2sin⁡θcs⁡θ]．
令t＝sin⁡θ＋cs⁡θ，则t＝2sin⁡θ＋π4∈[1，2]，且2sin⁡θcs⁡θ＝t2-1．(代数变换，将目标三角函数转化为代数函数)
故M＝224t-t＋1⩽1＋322，即M的最大值为1＋322．
【反思】(1)面对如此复杂的目标－二二元分式无理函数，观察条件“x＋2y＝5”，发现其结构可以进行三角换元．
(2)将代数函数转化为三角函数后，必须有三角变换的基本功作为支撑，当然，这也是训练三角变换的机会．
六、二元函数条件与目标结构挖掘
多元函数条件对所求目标一般都有结构上的暗示，通过对条件与所求目标结构的挖掘，找到解决问题的思路．
问题7：设x，y为实数，且x2＋2xy＋4y2＝6，求x2＋4y2的取值范围．
【解析】卡壳点：缺乏对目标结构与条件结构的换元意识与求解方法．
应对策略：条件结构挖掘，三角换元；目标结构挖掘，三角换元．
问题解答：解法1设x2＋4y2＝t，则有x2(t)2＋y2t42＝1．
设x＝tcs⁡θ，y＝t4sin⁡θ，θ∈[0，2π]，
代回条件式得tcs2⁡θ＋tsin⁡θcs⁡θ＋tsin2⁡θ＝6．
整理得sin⁡2θ＝12-2tt∈[-1，1]，解得t∈[4，12]．
故x2＋4y2的取值范围是[4，12]．解法2条件式配方得(x＋y)2＋3y2＝6．
令x＋y＝6cs⁡α，3y＝6sin⁡α，则x2＋4y2＝-4sin⁡2α＋π6＋8∈[4，12]．
故x2＋4y2的取值范围是[4，12]．
解法3令x＋2y＝m，xy＝n，则m2-2n＝6，x2＋4y2＝m2-4n．
将变换式x＝m-2y代人x2＋2yx＋4y2＝6，消去x得4y2-2my＋m2-6＝0．
由Δ⩾0得m2⩽8．
又当m＝0时，n＝-3，此时关于x，y的方程组x＋2y＝m，xy＝n有解，
所以0⩽m2⩽8，x2＋4y2＝m2-4n＝m2-2m2-6∈[4，12]．
故x2＋4y2的取值范围是[4，12]．
解法46＝x2＋2yx＋4y2⩾4|xy|＋2xy，当且仅当x＝2y时取等号．
当xy⩾0，6⩾4xy＋2xy时，解得0⩽xy⩽1；
当xy＜0，6⩾-4xy＋2xy时，解得-3⩽xy＜0．
所以-3⩽xy⩽1，故x2＋4y2＝6-2xy∈[4，12]．
故x2＋4y2的取值范围是[4，12]．
【反思】从给定的代数式结构中寻找变形突破口是智慧思考之一．
强化练习
1、(1)若正数a，b满足1a＋b＋1a-b＝1，则3a＋2b的最小值是________．
【解析】(1)令，
则所以
于是.
(2)若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a-1＋9b-1的最小值是________．
【解析】令，，
则.
【反思】目标与条件间线性表示的一般方法是待定系数法.
2、若正实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，xy＋yz＋xz＝1，则z的最大值是________．
【解析】由已知得，则（*）.
又，（**），
所以，
化简得，，
当且仅当，时，取最大值.
【反思】条件中蕴含关系式“"，建立（*）式与（**）式之间的桥梁是一个智慧点.
3、设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为________．
【解析】三角换元.
令则原式.
【反思】充分挖掘条件代数式的结构.
4、已知a，b，c∈R，且11＋a2＋11＋4b2＋11＋9c2＝1，则|6abc-1|的最小值为________．
【解析】设，，，则
故，
于是的取值范围是，所求的最小值为.
当时取到等号，此时，，，取值时保证即可.
5、已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
【解析】解法1 令，且，
两式相减得，
代回得.
该方程有解，所以判别式非负，即，，.
解法2，，从而有有解，所以判别式非负，即，，.
【反思】把握整体结构，转化模型.
6、设P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点，点A，B分别为双曲线x2a2-y2b2＝1两渐近线上的动点，且AP＝λPB(λ为常数)，设O为坐标原点，若△AOB面积的最大值为a2＋b2a＋b(1＋λ)24|λ|，则1a＋7b的取值范围是________．
【解析】设，，则根据定比分点公式，有.
点在椭圆上，所以，即，于是，即.
由面积坐标公式知，其中，，
可得的面积为，
因此，进而（*）.
令，得.
此函数当时单调递增，当时单调递减，因此所求取值范围是.
【反思】充分挖掘题设信息中隐藏的条件等式.
这是一个综合性很强的问题，在关键性一步“(*)”中利用了“1”代换技术，使问题顺利求解.“1”代换技术，就是构造出“1”，然后利用公式或给定的信息进行变形或运算的技术.“1”代换技术在三角函数变换和代数式变形中有十分重要的作用，体现了优化意识、简洁意识.
7、设实数xyz满足xy＋yz＋zx＝1，求S＝40x2＋20y2＋10z2能取到的最小整数值．
【解析】已知，当时，，则有.
当时，，则有.
当时，，则有.
下面讨论的情况.
由基本不等式知，存在参数，有
，
当且仅当，，时等号成立，此时有.
令，则，
解得
代人，化简得，解得.
所以.
又，所以能取到的最小整数值为19.
【反思】多变量消元的技术分析.
8、设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，求2x＋y的最大值．
【解析】解法1(方程思想)
设，则.
代人，有，
将它看作一个关于的二次方程，则由判别式大于等于0，可得，
解得，故的最大值为.
解法2(基本不等式法)
令，则，，
可解得的最大值为.
解法3(换元法1)
令有
问题转化为已知，求的最大值.
由，得，.
解法4(换元法2)
令，
则解得
于是，所以
解法5(换元法3)
直接配方得.
可设则，其中.
解法6(齐次化)
故.
解法7(向量法)
设，，
则有
【反思】在不同数学思想指导下，进行各种换元尝试.