专题8函数的建模与探究-解析版

这是一份专题8函数的建模与探究-解析版，共16页。试卷主要包含了电费计算中的建模意识，最佳工作安排的函数模型，质量分数中的函数模型，优惠购书中的数学建模，三峡水库蓄水量的数据拟合等内容，欢迎下载使用。
一、电费计算中的建模意识
生活中要用电、用水、用天然气等, 每月都会有一些支出, 作为学生, 你想过其中的数学模型吗? 你会描 述其中的数学模型吗?
问题 1 : 你知道你的家庭每月电费是如何计算的吗? 使用峰谷电的家庭按照浙江省居民生活用电 分为高峰和低谷两个时间段统计用电量. 电网销售电价表如下:
实际计费时, 每月每个时段每户基本用电量为 50 千瓦 • 时, 超过 50 千瓦 •时不足 200 千瓦 •时 (含 200 千瓦 •时), 每千瓦• 时加 0.03 元,超过 200 千瓦•时部分,每千瓦•时加 0.10 元. 某家庭 5 月 份的高峰时间段用电量为 200 千瓦 •时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦•时.
(I )该家庭 5 月应付的实际电费为 元; (用数字作答)
(II) 设峰电量为 x, 谷电量为 y, 确定电价 f(x,y) 的函数.
【解析】卡壳点: 实际问题的阅读理解力弱, 不会建立函数模型.
应对策略: 学会用数学符号语言 (函数) 来描述电费函数.
问题解答: (I) 实际生活中的电费单
(II) 实际计费方式的数学模型是
f(x,y)=0.568x+0.288y,x+y⩽50,0.568x+0.288y+0.03(x+y-50),50200.
【反思】 (1) 本例所涉及的问题是人们日常生活中常常遇到的, 学生要根据题意理解, 电费计算涉及一次 分段函数,当计算用电量时,应先判断用哪一个函数解析式.
(2) 此类分段函数在日常生活中有广泛应用,比如教材中出现过的计算个人所得税等.
二、最佳工作安排的函数模型
为了提高工作效率, 某项工作中会遇到一些科学安排问题, 需要用数学模型来解读实际问题. 然而, 现 实中很多学生不会用数学工具来解读, 因此产生痛点.
问题 2 : 某省阅卷点高考数学阅卷教师共有 400 人, 要完成文理科数学试卷的阅卷任务. 阅卷安排 时, 需将 400 人分成两组, 一组完成 475 捆理科试卷, 另一组完成 269 捆文科试卷, 据历年阅卷测算, 理 科每捆阅卷需要 4 天/人, 文科每捆阅卷需要 3 天/人.
(I)如何安排文理科阅卷教师的人数,使完成全省文理科阅卷任务的时间最省? (阅卷时间 = 阅 卷工作量 / 人数 = 每捆阅卷时间 × 文 (理)科试卷捆数 /人数)
(II)由于今年理科阅卷任务加重, 理科实际每捆阅卷需要 4.5 天/人,在按 (I) 分配人数阅卷 4 天 后, 从文科组抽调 20 人去阅理科卷, 试问完成全省阅卷任务至少需要多少天?（天数计算到小数点后第 3 位)
【解析】卡壳点: 不会解释数学计算结果的现实意义.
应对策略: 建立数学模型, 合理解决阅卷安排问题.
问题解答: 事实上, 问题中涉及阅卷工作量计算, 以及文科与理科阅卷工作量的差异, 合理调节阅卷人 数, 从而均衡文理科工作总量, 使阅卷时间的最省.
建立数学模型: 根据阅卷时间的计算方法, 分别建立文科与理科阅卷时间函数 f(x) 和 g(x), 设完成全 省阅卷任务的时间为 H(x), 则 H(x)=max{f(x),g(x)}, 问题转化为求 H(x) 的最小值.
(I) 设安排文科阅卷教师的人数为 x, 理科阅卷教师的人数为 400-x. 又设完成文科阅卷时间为 f(x), 完成理科阅卷时间为 g(x), 完成全省阅卷任务的时间为 H(x), 则 H(x)=max{f(x),g(x)}. 问题转化为 求 H(x) 的最小值.
由于阅卷时间 = 阅卷工作量 / 人数 = 每捆阅卷时间 × 文 (理) 科试卷量 / 人数,于是 ：
f(x)=269×3x(0