专题19二面角的大小-解析版

这是一份专题19二面角的大小-解析版，共24页。试卷主要包含了极端化分析动态面面位置关系，找线面垂直关系立标求二面角，向量助力寻找二面角的平面角，三垂线法找二面角的平面角，平同视角找一面角的平面角，补形技术助力寻找二面角等内容，欢迎下载使用。
问题1:已知等腰RtΔABC内接于圆O,点M是下半圆弧上的动点,如图1,现将上半圆面沿AB折起,使所成二面角C-AB-M为π4,则直线AC与直线OM所成角的最小值是
A.π12B.π6C.π4D.π3
【解析】卡壳点:不会寻找特殊点或极限点.
应对策略:考虑动点M在特殊点处时,线线角的大小.
问题解答:解法1如图2,折起后,点M在以AB为直径的半圆上运动.考虑特殊情况,当M=A或M=B时,所成角为π4.当M为⏜AB的中点时,设CB的中点为D,如图2,当半径为1时,CM2=2-2,DM2=32-22,cs∠DOM=12,所成角为π3.让DM继续变小,当DM2=32-62时,cs∠DOM=32,所成角为π6.所以选择B.
解法2选择O为原点,OA为x轴,如图3,则有A100,C02222,Mcsθsinθ0,于是AC=-12222,OM=csθsinθ0.故csα=AC⋅OM|AC||OM|=-csθ+22sinθ2=22csθ-12sinθ⩽32.所以α⩾π6.
【反思】(1)特殊化、极限法、极端法是思考空间量的大小的重要方法,解法1中点M在以AB为直径的半圆上运动,考虑其中的特殊位置,寻找问题的解.
(2)解法2建立函数模型,运用函数求最值的思想解决,本质上是解析法.
二、找线面垂直关系立标求二面角
问题2:如图4,已知在四棱雉S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60∘,SA=SD=5,SB=7,E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且SF=λSC,SA//平面BEF.
(I)求实数λ的值;
(II)求二面角S-BE-F的平面角的余弦值.
【解析】卡壳点:复杂图形中难以找到二面角的平面角.
应对策略:在复杂图形中寻找到三直线垂直关系,建立空间直角坐标系.
问题解答:(I)连接AC,设AC∩BE=G,则平面SAC∩平面EFB=FG.
因为SA//平面EFB,所以SA//FG.
因为ΔGEA∽ΔGBC,所以AGGC=AEBC=12.
所以SFFC=AGGC=12,从而SF=13SC,即λ=13.
(II)因为SA=SD=5,所以SE⟂AD,SE=2.
又因为AB=AD=2,∠BAD=60∘,所以BE=3.
所以SE2+BE2=SB2,所以SE⟂BE,所以SE⟂平面ABCD.
图5以EA,EB,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图5,
则A100,B030,S002,
平面SEB的法向量m=EA=100.
设平面EFB的法向量n=xyz,则n⟂EB,即xyz⋅030=0,解得y=0.
由n⟂GF,得n⟂AS,即xyz⋅-102=0,得x=2z.
令z=1,得n=201,所以csmn=m⋅n|m|⋅|n|=255.
故所求二面角的平面角的余弦值是255.
【反思】(1)题设中有菱形且有一个内角为π3,所以其中垂直关系比较多,所以数据比较多,从意识上注
意使用勾股定理逆定理的可能性,发现SE⟂BE,从而得到SE⟂平面ABCD.
(2)在证明了SE⟂平面ABCD后,建立空间直角坐标系才是恰当的.
三、向量助力寻找二面角的平面角
问题3:如图6,在正四面体ABCD中,点P,Q,R分别在棱AB,AD,AC上,且AQ=QD,APPB=CRRA=12,分别记二面角A-PQ-R,A-PR-Q,A-QR-P的平面角为α,β,γ,则
A.β>γ>αB.γ>β>αC.α>γ>βD.α>β>γ
【解析】卡壳点:难以寻找到三个二面角大小之间的“桥”.
应对策略:三个二面角的平面角作比较,想到用平面法向量来比较.
问题解答:记AB,AC,AD分别为a,b,c,且|a|=|b|=|c|=1.a⋅b=c⋅b=c⋅a=12.
易得平面APR,ARQ,AQP的法向量分别为n1=a+b-3c,n2=c+b-3a,n3=a+c-3b.
由于PR=23b-13a,RQ=12c-23b,因此平面PRQ的法向量n=xa+yb+zc满足xa+yb+zc⋅2b3-a3=0,xa+yb+zc⋅c2-2b3=0,即3y+z=0,x+5y-2z=0.
于是可取n=11a-b+3c,n1⋅n=11a2-b2-9c2+10a⋅b+6b⋅c-30c⋅a=-6,n2⋅n=-33a2-b2+3c2+14a⋅b+2b⋅c+2c⋅a=-22,n3⋅n=11a2+3b2+3c2-34a⋅b-10b⋅c+14c⋅a=2.
考虑到n1=n2=n3,以及γ必然为锐角,于是α>π2>β>γ.故选D.
【反思】(1)将二面角用平面法向量的夹角表示,然后比较大小是一个智慧点,选择好基向量,将四个平面的法向量用基向量表示,运算量比较大.
(2)此题为2017年温州市高考数学适应性试题,比2017年相关的浙江高考数学题要难得多.
四、三垂线法找二面角的平面角
问题4:如图7,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧面A1ACC1为菱形,∠A1AC=60∘,平面A1ACC1⟂平面ABC,N是CC1的中点.
(I)求证:A1C⟂BN;
(II)求二面角B-A1N-C的平面角的余弦值.
【解析】卡壳点:难以找到二面角的平面角.
应对策略:由面面垂直找到平面的垂线,从而由三垂线法找到二面角的平面角,或建立空间直角坐标系.
问题解答:(I)解法1如图8,取AC的中点O,连接BO,A1C,ON,由题意知BO⟂AC.
又平面A1ACC1⟂平面ABC,所以BO⟂平面A1ACC1,BO⟂A1C.
因为O,N分别是AC,CC1的中点,所以A1C⟂ON,故A1C⟂平面BON.因为BN⊂平面BON,所以A1C⟂BN.
(II)由(I)知BO⟂平面A1ACC1,过点O作OM⟂A1N,连接BM,则图8MB为二面角B-A1N-C的平面角,OM=32×3=32,BO=3,BM=94+3=212.cs∠OMB=OMBM=217.
解法2(I)取AC的中点O,连接BO,A1O,由题意知BO⟂AC,A1O⟂AC.
又因为平面A1ACC1⟂平面ABC,所以A1O⟂平面ABC.
以O为原点,建立如图9所示的空间直角坐标系O-xyz,则O000,B300,A1003,N03232,C010.
从而A1C=01-3,BN=-33232,故A1C⟂BN.
(II)由(I)知,A1N=032-32,A1B=30-3.
设平面A1BN的法向量n1=xyz,则A1N⋅n1=0,A1B⋅n1=0,即32y-32z=0,3x-3z=0.
令x=1,所以n1=1331.
又平面A1NC的法向量n2=100,
设二面角B-A1N-C的平面角为θ,则csθ=n1⋅n2n1n2=217.
【反思】(1)第(I)问证明线线垂直时,需要通过线面垂直来转化,第(I)问对第(II)问没有明显的帮助作用,只是融人到整体的思考之中.
(2)整个题中“BO⟂平面A1ACC1”是一个关键点,为寻找到二面角的平面角打下基础.

五、平同视角找一面角的平面角
问题5:如图10,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⟂平面BCDE,∠CDE=∠BED=π2,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.求二面角B-AD-E的大小.
【解析】卡壳点:不能寻找到二面角的平面角.
应对策略:学会用不同的视角来审视同一个问题.
问题解答:解法1(定义法)如图11,作BF⟂AD,与AD交于点F,过点F作FG//DE,与AE交于点G,连接BG.
在直角梯形BCDE中,由CD2=BD2+BC2,得BD⟂BC.
又平面ABC⟂平面BCDE,所以BD⟂平面ABC,从而BD⟂AB.
由于AC⟂平面BCDE,得AC⟂CD.
在RtΔACD中,由CD=2,AC=2,得AD=6.
在RtΔAED中,DE=1,AD=6,得AE=7.
在RtΔABD中,BD=2,AB=2,AD=6,得BF=233,AF=23AD,从而GF=23.
在ΔABE,ΔABG中,利用余弦定理分别可得cs∠BAE=5714,BG=23.
在ΔBFG中,cs∠BFG=GF2+BF2-BG22BF⋅GF=32,所以∠BFG=π6,即二面角B-AD-E的大小是π6.
解法2(补形转化法)如图12,将EB延长至点M,使DCME为矩形,以此为底,CA为高补成长方体AD1E1M1-CDEM.
连接EM1,过点B作BR⟂EM1,交EM1于点R,过点R作RH//ED,易知点H在AD上,则∠RHB为二面角B-AD-E的平面角.
余下同上述求解.
解法3(余角转化法)易证平面EDA⟂平面CDA,从而二面角B-AD-E图12与二面角B-AD-C之和为π2.问题转化为求二面角B-AD-C的大小.如图13,过点B作BH⟂CD,交CD于点H.过点H作HI⟂AD于点I,连接BI,则∠BIH为二面角B-AD-C的平面角.由IHAC=DHAD得IH=33,tan∠BIH=BHIH=3,所以∠BIH=π3.
因此二面角B-AD-E的大小是π6.
解法4(体积转化法)由基本图形知,只需在平面ADE上找一点E,求点E到平面ADB的距离d,则二面角B-AD-E的平面角θ可由sinθ=dED求得,而d可由体积法VE-ABD=VA-BDE得到,BD×AB×d=DE×BE×AC,d=
由m⋅AD=0,m⋅AE=0得0-2y1-2z1=0,x1-2y1-2z1=0,可取m=(0,1,-2).
由n⋅AD=0,n⋅BD=0得0-2y2-2z2=0,x2+y2=0,可取n=(1,-1,2).
于是cs⁡⟨m,n⟩=|m⋅n||m||n|=32.
由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小是π6.
【反思】(1)空间图形的解答一般都有多种解法与思路,复习训练时应强化一题多解,有利于增加获胜的可能性.
（2）上述求解中,体积转化法较易,运算量较少,而向量坐标法比较麻烦,涉及线性方程组求解,运算中,稍微有一点出错,将前功尽弃.
六、补形技术助力寻找二面角
问题6:如图15,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC为直角,Q为PA中点,下列说法中,正确说法的个数为（ ）
(1)∠PBA+∠PCA+∠BPC=π;
(2)记二面角P-BC-A,Q-BC-A的平面角分别为θ1,θ2,则θ1>2θ2;
（3）cs∠PBC