专题22圆锥曲线性质-解析版

这是一份专题22圆锥曲线性质-解析版，共29页。试卷主要包含了平面几何助力定值与定圆，搭建参数函数寻找参数范围，建立几何量函数探求最值，细儿数字运算与解方程组，建立动圆方程寻找定点坐标，强化运算技甫与挖掘意识，新几何量先求右证苒判断，强化练习等内容，欢迎下载使用。
动点轨迹问题是圆锥曲线中最常见的问题,简单的可利用待定系数法解决,只给出几何条件的可用“建设限代化法”(即“建”立坐标系,“设”点坐标,列动点“限”制条件,“代”人基本公式化为方程,“化”简并验证)解决,另外还有交轨法、参数法等.把几何条件代数化的过程中思维受阻,就会产生痛点.
圆锥曲线性质研究的特征是“算”,一般而言,对于解答题易采取“繁算”,而对于选择题或填空题易采取“简算”或“估算”.简算的途径有:设而不求,合理引参;回归定义,借助平几;逆向思考,逐次更替;涉及中点,点差为宜;面积最值,巧设变元;整体化简,瞄准主元.面对圆锥曲线问题,既要有繁算的运算能力,又要有探究简算途径的能力.
圆锥曲线的性质有很多,对于轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题等,解决的基本方法也很多,只有掌握诸如待定系数法、定义法、相关点法、点差法等才能解决问题,而上述问题求解中学生普遍暴露出对这些方法的运用缺少自觉性.
一、平面几何助力定值与定圆
圆锥曲线问题中形成的定值定点问题比较多,偶尔也会有定圆之类的题,既然是“定”,就是不变量,在变动的条件下形成不变的东西,找到即可,如果找不到,痛点就会产生.
问题如图1,已知椭圆上一点,是椭圆的两个焦点,过作椭圆在点处切线的垂线,垂足分别为.
(I)求证:点在定圆上;
(II)求证:为定值.
图1
【解析】卡壳点:不会挖掘给定条件中的几何性质.
应对策略:在寻找定值、定圆的过程中挖搔几何性质.
问题解答:(I)设点关于切线的对称点为点,连接,如图2.
图2
图3
可知,进而.
同理.因此点在定圆上.
(II)如图3,延长,交圆于点.
设椭圆的长轴端点分别为,根据相交弦定理,可得.
【反思】(1)定点是相对于某一曲线或直线而言的,定点问题往往转化为代数的恒成立问题,或直线族经过某一定点的问题.
(2)解析几何中证明共线(即动点在定直线上)的解析方法,落实在定直线的方程上,即找到动点所在的定直线方程.此例的最大特点是消元,观察代数式结构,运算智慧是关键.
二、搭建参数函数寻找参数范围
在圆锥曲线中常常以求参数范围为目标,参数可以是方程中的某一个要素,也可以是直线的斜率、截距、动点的坐标等,一般解决方法是构建参数函数,自变量可能很容易选择,也可能隐藏在题意之中;如果无法建立参数函数,或者找不到参数函数的定义域或值域,必然导致思维受阻,产生痛点.
问题2:已知抛物线上一点到焦点的距离为2.
(I)求的值与抛物线的方程;
(II)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点满足,求直线斜率的范围.
【解析】卡壳点:构建斜率函数后,求解困难.
应对策略:直线的斜率函数为二元函数,在消元和寻找自变量的变化范围时显示智慧.
问题解答:点到焦点的距离为2,即点到准线的距离为2,即.
又,解得.
所以抛物线的方程为.
（II)设,其中,
由得.
由于,则,解得.
当,即时,直线的斜率不存在.
当时,.
令,则.
所以在区间和上分别单调递减.
故.
【反思】(1)将斜率表示为某一动点(如点)的坐标函数,利用点位置的特殊性,即在第四象限,从而有限制条件.
(2)为求关于斜率的函数的值域,借助导数工具研究复杂斜率函数的性质,找到它的变化范围.
三、建立几何量函数探求最值
圆锥曲线中的最值问题可能是某一参数的最值,也可能是某一图形面积的最值,寻找相关量的函数才能找到问题的解,但是在建立函数的过程中,由于代数结构复杂容易产生痛点.
问题3:设点,直线相交于点,且它们的斜率之积为.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)直线过点且绕点旋转,与圆相交于两点,与轨迹相交于两点,若,求面积的最大值和最小值(点为轨迹的左焦点).
【解析】卡壳点:利用基本不等式求最值时,不会整体换元,不能显化并简化代数式结构.
应对策略:整体换元,目标简化.
问题解答:(I)设,则,
整理得.
故轨迹的方程为.
(II)设直线的方程为,则点到的距离.
所以,从而可得.
将代人轨迹的方程并整理得.
设,则.
所以,
所以.
设,则在上单调递增,所以.
所以,
所以.
【反思】(1)在建立面积函数的过程中,用到了解析几何中三角形的面积公式,将直线与椭圆方程联立消元得到二次方程,利用韦达定理,代人面积公式后可得面积函数.
(2)分析复杂的面积函数结构,选择换元置换呈现对勾函数结构.
(3)分析变元的变化范围,找到面积函数的最大值与最小值.
四、细儿数字运算与解方程组
问题4:已知椭圆及圆,过椭圆的左顶点且与圆相切于点的直线交椭圆于点,点与椭圆的右焦点的连线交椭圆于点.
(I)当为椭圆的通径(过焦点且与轴垂直的弦)时,求圆的面积;
(II)当三点共线时,求实数的值.
【解析】卡壳点:运算时障碍点较多,运算力不够.
应对策略:在直线与椭圆方程联立过程中,复杂方程化简意识要到位.
问题解答:(I)由题意知,,所以点的坐标为.
直线的方程为,即.
圆心到此直线的距离为圆的半径,则,所以圆的面积为.
(II)设的方程为的方程为,点的坐标为.
联立直线与椭圆方程,可得.
于是可得.
故点坐标为.
又点的坐标为,联立与的方程
解得点的坐标为.
由点在椭圆上得.
整理得,于是.
进而可得圆的半径为1.由知,实数的值为0.
【反思】(1)(I)中遇到的障碍点是如何求圆的半径.思路是先求出点的坐标,然后建立直线的方程.在用点到直线的距离公式求半径时,遇到了麻烦,因为不对方程化简就开始计算,结果运算很繁,导致算不对.
(2)(II)中解方程组遇到困难,由“”求时,计算出错,很多学生运用求根公式得,数字较大,应该寻找公约数(比如2化简,可得.进行代数式运算时,应该及时发现可合并的同类项(比如与与.
事实上,如果注意到方程的两个解正是点的横坐标,由韦达定理就可以得到较简单的解,从而得到.
(3)为了探求点的坐标,大多数学生仍然联立椭圆与直线的方程求解,而没有注意到联立直线与的方程会更简单,由可以化简为然后解此二元一次方程组时也会遇到障碍.本应该化为整式,然后解一元一次方程得,但许多学生的思路是,然后计算,甚至有的学生还达不到这一点.
(4)求解时,大多数学生的运算心理已经崩溃了,因为学生数字运算时是收玫思维,数字很大,看不出来规律,结果运算过程很繁杂.如果按照下面的过程可能会简单一点:
,此时可能还看不出公约数8,
进一步得,
约去公约数8,得,
合并同类项得,
把明显的公约数8约去得,
即，
由十字相乘法可得.
五、建立动圆方程寻找定点坐标
数学解题过程实际就是一个不断选择“思维道路”的过程,“思维道路”的基础是学生拥有的知识与能力,以及选择意识.事实上,大多数人拥有解题所需的数学知识与能力,缺少的是“选择意识”.解题时要运用下列策略.
(1)审题时,要充分挖掘题设条件,搞清楚要解决什么问题.
(2)运算时,每一步都要准确,否则影响后续计算.要做到数字运算时,计算不出错;字母运算时,推理无障碍.
(3)推理时,等价转化有理有据,面对代数式等,处处判断结构、步步判断结构、等价转化结构,把结构中的信息挖掘出来并运用好.
问题5:已知抛物线经过点.
(I)求抛物线的方程及其准线方程;
（II)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线,交抛物线于两点,直线分别交直线于点,求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
【解析】卡壳点:不会确定圆的方程.
应对策略:定点如何产生似乎跟圆有关,于是把建立圆的方程作为目标.
问题解答:(I)将点代人抛物线方程,可得.
故抛物线方程为,其准线方程为.
(II)很明显直线的斜率存在,焦点坐标为,设.
设直线方程为,与抛物线方程联立可得.
故,则.
直线的方程为,与联立可得.
同理可得.
易知以为直径的圆的圆心坐标为,半径为,且,,
故圆的方程为,
令,整理可得,解得.
故以为直径的圆经过轴上的两个定点和.
【反思】此题的第(II)问要证明圆系恒过两定点,其关键点在于建立圆系方程,明显的信号是直线的斜率是变化的,因此目标紧紧围绕圆心坐标、半径与斜率之间的数量关系,这是正确的道路,否则就会乱碰,找不到路.
六、强化运算技甫与挖掘意识
圆锥曲线问题求解离不开运算技术与挖掘意识,两者缺一不可,否则出错是不可避免的.
问题6:已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是
【解析】卡壳点:不会挖掘题中几何图形的几何性质与焦半径性质.
应对策略:挖掘平面几何性质,运用焦半径性质.
问题解答:解法1设,则.
又,联立得.
整理得,解得,另一根不合题意,所以.
故直线的斜率为.
解法2取的中点,连接,如图4.由题意可知,由中位线定理可得.
设,可得.
图4与方程联立可解得(舍去).
已知点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以.
解法3如图4,由题意可知,由中位线定理可得,
即,求得,所以.
【反思】变式如图5,已知双曲线的左焦点为,点在双曲线上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是
解析取的中点,连接,由题意可知.
由中位线定理可得.
图5
图6
如图6,若点在双曲线的左支上,则.
求得,所以.
若点在双曲线的右支上,则,
求得,所以.
案例1:解法1中,将代人方程前,移项出错,得出,结果失误!
案例2:已经得到方程,进而得,或,对于增根缺少判断意识,结果按算不出来,失败!
案例3:不知道椭圆焦半径知识,给出焦半径公式后,还不会用,结果求不出来.
七、新几何量先求右证苒判断
解圆锥曲线题没有逻辑推理是不可想象的,可把逻辑推理比喻成圆锥曲线的“命根子”.复杂圆锥曲线问题的逻辑推理与运算推理过程是“漫长”的,很多学生两三步就想获得成功的意识很强,这是不可能的.只有逻辑推理能力,无运算能力也是不可想象的,运算能力是基本功,而且是“童子功”,缺少这方面的功底也无法解决问题.为突破圆锥曲线性质问题,重在方程与不等式的求解能力,它是一种综合能力,与记忆力、理解力、数学思维能力紧密相连,相互渗透,相互支撑.在数学教学中,教师应在设计问题、组织内容上下功夫,让学生亲身经历知识的形成过程,把死的知识讲活,遵循学生的认知规律,深化学生对方程与不等式知识的认识和理解,培养学生解决方程与不等式问题的能力.
问题7:已知抛物线方程为焦点,为抛物线准线上一点,为线段与抛物线的交点,定义:.
(I)当时,求;
(II)证明:存在常数,使得;
(III)为抛物线准线上的三点,且,判断与的大小关系.
【解析】卡壳点:对即时定义的转化意识不到位.
应对策略:问题中新的几何量本质上是两个几何线段的长度比,先求,后证,再判断.
问题解答:(I)抛物线方程的焦点为,已知,则.
故直线的方程为,代人抛物线的方程,解得.
又抛物线的准线方程为,可得,
故.
(II)当时,.
设的方程为,则.
联立和,可得.
于是.
.
故存在常数,使得.
(III)设,
则
因为,
又因为,
所以.【反思】此题不仅涉及大量数字运算和解方程运算,而且还有大量的根式代数运算,检测考生的运算基本功,运算中的智慧点就是代数式结构的分析与简化.
八、强化练习
若椭圆或双曲线上存在点,使得点到两个焦点的距离之比为,则称此椭圆或双曲线存在“”点,下列曲线中存在“”点的是
A.B.C.D.
【解析】要理解定义中“K”点的意义,并由点P到两个焦点的距离之比为2:1进行代数转化.
思路一:到两个定点的距离之比为2:1的点的轨迹为圆,因此原问题转化为椭圆(双曲线)与两个圆是否存在公共点的问题.事实上,圆的方程并不简单,暂时不考虑此思路.
思路二:考虑椭圆或双曲线上点到两个焦点的距离之比的取值范围,为方便起见,考虑用较大的比较小的.
对于椭圆来说,这个比值的最小值是1,因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值,所以这个比值的最大值只需要考虑椭圆上一点到焦点的最大距离,显然为a+c.
于是比值的范围为1,a+ca-c.
对于双曲线来说,双曲线上的点到较近焦点的距离为m,所以这个比值为2a+mm=1+2am.因为m∈[c-a,+∞),于是比值的范围为1,a+cc-a,各个选项在这个比值上的取值范围分别为1,53,1,32,1,53,1,2+12-1,所以选择D.
思路三:由点P到两个焦点的距离之比为2:1计算出点P对应的焦半径,再根据焦半径的范围去估计椭圆或双曲线的离心率.
对于椭圆,由点P到两个焦点的距离之比为2:1知焦半径分别为4a3与2a3,而焦半径的取值范围为[a-c,a+c],所以有2a3⩾a-c,解得e⩾13.
类似地,考虑双曲线,可得e⩽3,而各选项的离心率分别为14,15,4,2,所以选择D.
【反思】(1)满足某种条件的点P是否存在反映了椭圆或双曲线的某种性质,去直接探索这种性质说明了什么,而不是直接对选项进行分别计算,是解决这类问题的关键.
(2)探索性质可能有多个不同的方案,结合问题本身选择合适的方案,也能有效地减少计算量,看清问题本质.圆雉曲线中的存在性问题,突出的是某一个特征的存在,或某一直线和曲线的存在,找到或否定它的存在(或不存在)就可以了,但是,找的过程中会遇到困难或障碍,找不到或否定不了,就会产生痛点.
已知点和抛物线,过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点.若,则的面积为
【解析】Ay124,y1,By224,y2,
由y=k(x-1),y2=4x消去x得k4y2-y-k=0.
由韦达定理知y1+y2=4k,y1y2=-4.
由题意知y1-1y124+1⋅y2-1y224+1=-1,即-y1-1y2-1=y124+1y224+1
即-y1y2-y1+y2+1=y12y2216+y1+y22-2y1y24+1,代人数据得3+4k=4k2+4,即2k-12=0,解得k=2.AB=1+1k2y1-y2=52y1+y22-4y1y2=5,
故点M到直线y=2(x-1)的距离为5,△ABM的面积为552.
【反思】抛物线上点的坐标设定是一个智慧点,选择变量很重要.
已知椭圆的左顶点为,过点作两条弦,分别交椭圆于两点,直线,的斜率分别记为,满足,则直线经过的定点为
【解析】由x216+y24=1,y=k1(x+4)解得xM=4-16k121+4k12.
同理xN=4-16k221+4k22=4k12-64k12+16.
从而yM=8k11+4k12,yN=-16k116+k12,
故M4-16k121+4k12,8k11+4k12,N4k12-64k12+16,-16k116+k12.
可得直线MN:y-8k11+4k12=-9k14k12-2x-4-16k121+4k12,
其中MN的斜率推导过程如下:
-16k116+k12-8k11+4k124k12-6416+k12-4-16k121+4k12=8k1-21+4k12-16-k121+4k124k12-64-k12+164-16k12
=-72k1k12+232k14-128=-9k14k12-2.
以下是直线MN方程的化简过程:
y-8k11+4k12=-9k14k12-2x-4-16k121+4k12y=-9k14k12-2x+8k11+4k12-4-16k121+4k12⋅-9k14k12-2=-9k14k12-2x+k132k12-64+36-144k124k12-21+4k12=-9k14k12-2x+-k1112k12+284k12-21+4k12=-9k14k12-2x+289
恒过定点-289,0.
【反思】寻找直线恒过的定点时,利用直线点斜式方程中斜率的任意性来求解是一个智慧点.
已知抛物线,定点为抛物线上任意一点,点在线段上,且有,当点在抛物线上变动时,点的轨迹方程是,这个轨迹为曲线.
【解析】设P(x,y),Bx1,y1,由题设得点P分线段AB的比λ=APPB=2,
所以x=3+2x11+2,y=1+2y11+2,
解得x1=32x-32,y1=32y-12.
又点B在抛物线y2=x+1上,其坐标适合抛物线方程,所以32y-122=32x-32+1.
整理得点P的轨迹方程为y-132=23x-13.
其轨迹为抛物线.
【反思】求动点轨迹方程方法很多,此处用相关点法,线段定比分点公式发挥作用.
已知椭圆过点,且椭圆的左焦点为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点的动直线与椭圆相交于两个不同点,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上.
【解析】(I)由题意得c2=2,2a2+1b2=1,解得a2=4,b2=2.c2=a2-b2,所求椭圆方程为x24+y22=1.
(II)设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),x1,y1,x2,y2.由题设知|AP|,|QB|,|AQ|,|PB|均不为零.
记λ=|AP||PB|=|AQ||QB|,则λ>0且λ≠1.又A,P,B,Q四点共线,从而AP=-λPB,AQ=λQB,于是4=x1-λx21-λ,1=y1-λy21-λx=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ
从而x12-λ2x221-λ2=4x①
y12-λ2y221-λ2=y②
又点A,B在椭圆C上,即x12+2y12=4③
x22+2y22=4④
由①+②×2并结合③,④得4x+2y=4.
故点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.
【反思】求出点Q(x,y)的轨迹方程为直线方程即可,运算是关键,多变量参与其中,消去参数,方法越简单越好.
6.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点,则四边形面积的最大值是
【解析】四边形AEBF的面积随着动点E,F而变,而E,F的两点变化受制于直线的斜率,依题设得椭圆的方程为x24+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0)
第6题答图
如答图所示,设Dx0,kx0,Ex1,kx1,Fx2,kx2,其中x10)”进行代数转化是关键.
8.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦,若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称为曲线的垂轴弦.已知点是圆锥曲线上不与顶点重合的任意两点,是垂直于轴的一条垂轴弦,直线分别交轴于点.
(I)试用含的代数式分别表示和.
(II)若的方程为(如图),求证:是与和点位置无关的定值.
(III)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线,试探究和经过某种四则运算(加、减、乘、除),其结果是否是与和点位置无关的定值?写出你的研
第8题图究结论并证明.
【解析】(I)因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦,所以N(m,-n),则lMP:y-n=y0-nx0-m(x-m).
令y=0,则xE=my0-nx0y0-n.
同理可得xF=my0+nx0y0+n.
(II)由(I)可知xExF=m2y02-n2x02y02-n2.
因为M,P在椭圆C:x2a2+y2b2=1上,所以n2=b21-m2a2,y02=b21-x02a2,
xExF=m2b21-x02a2-b21-m2a2x02b21-x02a2-b21-m2a2=b2m2-x02b2a2m2-x02=a2
(定值),
所以xExF是与MN和点P位置无关的定值.
(III)第一层次:①P是圆C:x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点ExE,0,FxF,0,则xExF=R2.
证明:由(I)知xExF=m2y02-n2x02y02-n2.
因为M,P在圆C:x2+y2=R2上,所以n2=R2-m2,y02=R2-x02,
xExF=m2R2-x02-R2-m2x02R2-x02-R2-m2=R2m2-x02m2-x02=R2,
所以xExF是与MN和点P位置无关的定值.
②P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点ExE,0,FxF,0,则xExF=a2.
证明:由(I)知xExF=m2y02-n2x02y02-n2.
因为M,P在双曲线C:x2a2-y2b2=1上,所以n2=b2m2a2-1,y02=b2x02a2-1,
xExF=m2b2x02a2-1-b2m2a2-1x02b2x02a2-1-b2m2a2-1=b2x02-m2b2a2x02-m2=a2,
所以xExF是与MN和点P位置无关的定值.
第二层次:
P是抛物线C:y2=2px(p>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点ExE,0,FxF,0,则xE+xF=0.
证明:由(I)知xE+xF=2my02-n2x0y02-n2.
因为M,P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,所以y02=2px0,n2=2pm.
xE+xF=2my02-n2x0y02-n2=22mpx0-2pmx0y02-n2=0,
所以xE+xF是与MN和点P位置无关的定值.
【反思】首先理解并证明在椭圆条件下,“xExF是与MN和点P位置无关的定值”,其中的消元运算是关键点;后续开放题中,对于圆、双曲线、抛物线的类似证明也充满运算智慧.