专题24计数原理应用-解析版

这是一份专题24计数原理应用-解析版，共20页。试卷主要包含了精于计数基而分析方法，抓住关键词精准分类计数，遇到障碍时联想出奇招，抓住分类本质减少分类层次，计数中分类时抓住现象本质，读懂集合寻找计数辅助方法等内容，欢迎下载使用。
(1)制作球与盒子模型的策略;
(2)特殊元素优先安排的策略;
(3)合理分类和准确分步的策略;
(4)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(5)正难则反、等价转化的策略;
(6)相邻问题㧽绑处理的策略;
(7)不相邻问题揷空处理的策略;
(8)定序问题除法处理的策略;
(9)分排问题直接处理的策略;
(10)“小集团”排列问题先整体后局部的策略.
一、精于计数基而分析方法
问题1:有4名男生、5名女生,全体排成一行,则下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男生、女生分别排在一起;
(4)男女相间；
(5)甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定.
【解析】卡壳点:计数的基本分析方法缺失导致思维受阻.
应对策略:党抂球与盒子的计数分析方法是基本功,它是各种具体方法的基础,元素可重复排列是易错情形,借助此基本功可以降低出错概率.
问题解答:(1)解法1(元素分析法)先排甲,有6种,其余有种,故共有种排法.解法2(位置分析法)中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有种排法.
解法3(等机会法)9个人的全排列数有种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是种.
解法4(间接法)种.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有种排法.
(3)(捆绑法)种.
(4)(揷空法)先排4名男生有种方法,再将5名女生揷空,有种方法,故共有种排法.
（5）解法1(等机会法)9人共有种排法,其中甲、乙、丙三人有种排法,因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法,故共有种排法.
解法种.
【反思】解决有限制条件的计数应用题,分析时主要按优先原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位置,要充分运用元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、揷空法等方法来寻我解题的突破口.
二、抓住关键词精准分类计数
在计数问题中,有许多关键词制约着问题分类标准的制定,比如,“至少”“至多”“恰好”“不小于”“不大于”“奇偶”等,要抓住问题中的关键词(不论此关键词是明显的,还是隐藏的)进行分类考虑,而每一类问题都要利用球与盒子模型进行分析,以保证所求的排列和组合种数既不重复也不遗漏.
问题2:某中学将招聘来的4名教师安排在高中三个年级任教,其中高一年级至少要安排1人,高二年级必须安排但至多只能安排2人,那么不同的安排方案共有多少种?
【解析】卡壳点:不知道“至少”“至多”在计数中的处理方法.
应对策略:计数中,“至少”“至多”这两个关键词对分类的影响显示智慧.
问题解答:首先建立球与盒子模型:将4名教师视为“球”,三个年级视为“盒子”;其次考虑特殊元素与特殊位置,因为高一年级(记为)至少要安排1人,高二年级(记为)必须安排但至多只能安排2人,将高三年级记为C.分类如下:
,共有种；
,共有种；
,共有种;
,共有种；
,共有种.
故共有46种方案.
【反思】(1)此题中既有“至少”又有“至多”,可先根据极端情形分类,然后根据计数原理进行计数.
(2)遇到有关奇数与偶数,或奇函数与偶函数的计数时,球与盒子模型也是非常好的分析方法.
三、遇到障碍时联想出奇招
计数问题中有许多难题,不知如何下手,但通过联想类似问题可以找到解题思路.
问题:记表示有限集合中元素的个数,现有集合,集合
(I)
(II)对任意,将中所有元素相乘,乘积记为,现将所有的相加,其和记为,则
【解析】卡壳点:第(II)问审题时找不到分析思路.
应对策略:计数中面对熟悉的结构需要联想找到思路.
问题解答:(I).
(II)此时真是“山重水复疑无路”,“从数集中任意选取若干个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这样的条件似曾相识,这可是高考和模拟试卷中屡见不鲜的条件,比如2013年北京朝阳区高三二模填空的最后一题:
数列的前项组成集合,从中任取)个数,所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记,例如,当时,;
当时,;
当时,
试写出
此题第一空为63,第二空可以用不完全归纳的方法得出结果是.
可是不完全归纳法总让人觉得差点意思,有没有更加“给力”的方法?
观察,根据乘法法则,此式即为第二空的答案,是不是很“给力”?这一招是处理“从数集中任意选取若千个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这类条件的利器,大家一定要学会.
现在回到原题,假如这道题求的是集合的每个子集中元素乘积的总和,那就好办了,答案是,可是现在要求的是集合的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,刚才这招并不能立即见效,再一次“山重水复疑无路”.再想想,以前有没有解决过类似的问题?比如第(I)小题那个结论如何证明?于是“似曾相识燕归来”!
求的值,令,在二项展开式中,取得,取得,故.
利用具有对偶性的两个代数式解决问题,此思路可帮助找到求解原题的思路:
记为集合的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,记为集合的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和,
,
,
所以.
【反思】(1)对问题中结构模型的联想是找到问题求解思路的智慧点,许多时候,联想是启动思维的发动机.
(2)善于积累上述智慧点,为解决更加复杂的问题奠定基础.
(3)求某些特殊集合中元素个数的计数方法多样,注意正确选择.
四、抓住分类本质减少分类层次
计数中先进行分类,然后分别计算每一类中的方法数.由于分类标准的确定是一个难点,有必要引导学生关注分类时思考的方向,即抓住问题本质,从而减少分类的层次.
问题4:在某次数学考试中,学号为的同学的考试成绩,且满足,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有多少种?
【解析】卡壳点:分类标准制定没有抓住问题本质.
应对策略:减少分类的种数需要抓住分类的本质.
问题解答:第一种分类:考虑下列8种情形.
(1),有种;
(2),有种;
(3),有种;
(4),有种;
(5),有种;
(6),有种;
(7),有种;
(8),有种.
故可能的情况共有种.
第二种分类:在连接的“”或“=”中,考虑“”的个数的各种情形.
(1)三个连接符号中含0个“=”,有种可能;
(2)三个连接符号中含1个“,有种可能;
(3)三个连接符号中含2个“=”,有种可能;
(4)三个连接符号中含3个",有种可能.
故可能的情况共有种.
一般地,在某次考试中,学号为的.同学的考试成绩,且满足,这位同学的考试成绩的所有可能的情况有多少种?
分析:在连接的“